Номер 109, страница 24, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

109 Старинные задачи

1) Один человек идёт из первого города во второй и проходит в день по 40 вёрст, а другой человек идёт навстречу ему из второго города и в день проходит по 30 вёрст. Расстояние между городами 700 вёрст. Через сколько дней путники встретятся, если вышли одновременно?

2) Некий юноша пошёл из Москвы в Вологду. Он проходил в день по 40 вёрст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день по 45 вёрст. На каком расстоянии от Москвы второй юноша догнал первого?

3) Собака усмотрела в 150 саженях зайца. Он пробегает в 2 мин 500 сажен, а собака в 5 мин – 1300 сажен. Какое расстояние будет между собакой и зайцем через 10 мин? В какое время собака догонит зайца?

1) Для решения этой задачи на встречное движение необходимо определить скорость сближения путников. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость первого путника составляет $v_1 = 40$ вёрст/день, а второго — $v_2 = 30$ вёрст/день. Скорость их сближения равна $v_{сбл} = v_1 + v_2 = 40 + 30 = 70$ вёрст/день. Это значит, что каждый день расстояние между ними уменьшается на 70 вёрст. Зная общее расстояние $S = 700$ вёрст, можно найти время до встречи $t$, разделив расстояние на скорость сближения: $t = S / v_{сбл} = 700 / 70 = 10$ дней. Ответ: путники встретятся через 10 дней.

2) Это задача на движение вдогонку. Сначала определим, какое расстояние успел пройти первый юноша за один день, пока второй еще не вышел. Это расстояние будет форой. При скорости 40 вёрст/день за 1 день он прошёл $S_{форы} = 40 \times 1 = 40$ вёрст. Второй юноша догоняет первого, поэтому их скорость сближения (или скорость погони) равна разности их скоростей: $v_{сбл} = v_2 - v_1 = 45 - 40 = 5$ вёрст/день. Теперь найдём время, которое потребуется второму юноше, чтобы догнать первого. Для этого разделим начальное расстояние между ними (фору) на скорость сближения: $t_{погони} = S_{форы} / v_{сбл} = 40 / 5 = 8$ дней. За эти 8 дней второй юноша догонит первого. Чтобы найти, на каком расстоянии от Москвы это произойдёт, умножим скорость второго юноши на время его движения: $S = v_2 \times t_{погони} = 45 \text{ вёрст/день} \times 8 \text{ дней} = 360$ вёрст. Ответ: второй юноша догнал первого на расстоянии 360 вёрст от Москвы.

3) Для решения этой задачи на движение вдогонку сперва вычислим скорости обоих животных в саженях в минуту. Скорость зайца составляет $v_{з} = 500 \text{ сажен} / 2 \text{ мин} = 250$ сажен/мин. Скорость собаки составляет $v_{с} = 1300 \text{ сажен} / 5 \text{ мин} = 260$ сажен/мин. Поскольку собака бежит быстрее, она будет догонять зайца. Скорость их сближения равна разности скоростей: $v_{сбл} = v_{с} - v_{з} = 260 - 250 = 10$ сажен/мин. Чтобы узнать расстояние между ними через 10 минут, нужно из начального расстояния в 150 сажен вычесть то, на которое оно сократилось за это время. Сокращение составит $10 \text{ сажен/мин} \times 10 \text{ мин} = 100$ сажен. Таким образом, новое расстояние будет $150 - 100 = 50$ сажен. Чтобы найти общее время, за которое собака догонит зайца, разделим начальное расстояние на скорость сближения: $t_{погони} = 150 \text{ сажен} / 10 \text{ сажен/мин} = 15$ минут. Ответ: через 10 минут расстояние между собакой и зайцем будет 50 сажен; собака догонит зайца через 15 минут.