Номер 112, страница 25, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

112 Расстояние между пунктами A и B по шоссе 15 км. В 9 ч утра из A в B вышел пешеход со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Через 1 ч 15 мин пути он сделал 45-минутный привал, а затем продолжил путь, снизив скорость до $3 \text{ км/ч}$. Пройдя 2 ч с этой скоростью, он сделал вторую остановку, которая длилась 15 мин, и оставшийся до пункта B путь вновь шёл со скоростью $4 \text{ км/ч}$.

Из пункта B второй пешеход вышел навстречу первому в 10 ч утра со скоростью $6 \text{ км/ч}$. В 11 ч он сделал остановку на 45 мин. После остановки он шёл до пункта A со скоростью $4 \text{ км/ч}$.

Построй графики движения пешеходов ($1 \text{ ч} - 4 \text{ клетки}$, $1 \text{ км} - 1 \text{ клетка}$) и определи, когда и на каком расстоянии от пункта A произошла их встреча. Кто из них раньше пришёл в пункт назначения и на сколько?

Построй графики движения пешеходов (1 ч – 4 клетки, 1 км – 1 клетка) и определи, когда и на каком расстоянии от пункта А произошла их встреча.

Для решения задачи сначала определим ключевые точки (время, расстояние от пункта А) для каждого пешехода. За начало отсчета расстояния примем пункт А (0 км), тогда пункт В находится на отметке 15 км. Время будем отсчитывать от 9:00.

Движение первого пешехода (из А в В):
1. Начало пути: 9:00, расстояние 0 км. Точка на графике (9:00; 0 км).
2. Движение до первой остановки: Двигался 1 ч 15 мин ($1.25$ ч) со скоростью 4 км/ч. Пройденное расстояние: $S = 4 \text{ км/ч} \times 1.25 \text{ ч} = 5$ км. Время в конце участка: 9:00 + 1 ч 15 мин = 10:15. Точка на графике (10:15; 5 км).
3. Первая остановка: Длилась 45 мин. Время в конце остановки: 10:15 + 45 мин = 11:00. Расстояние не изменилось. Точка на графике (11:00; 5 км).
4. Движение до второй остановки: Двигался 2 ч со скоростью 3 км/ч. Пройденное расстояние: $S = 3 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 6$ км. Общее расстояние от А: $5 + 6 = 11$ км. Время в конце участка: 11:00 + 2 ч = 13:00. Точка на графике (13:00; 11 км).
5. Вторая остановка: Длилась 15 мин. Время в конце остановки: 13:00 + 15 мин = 13:15. Расстояние не изменилось. Точка на графике (13:15; 11 км).
6. Движение до пункта В: Оставшееся расстояние: $15 - 11 = 4$ км. Скорость 4 км/ч. Время в пути: $t = 4 \text{ км} / 4 \text{ км/ч} = 1$ ч. Время прибытия в В: 13:15 + 1 ч = 14:15. Точка на графике (14:15; 15 км).
График первого пешехода – это ломаная линия, соединяющая точки: (9:00; 0), (10:15; 5), (11:00; 5), (13:00; 11), (13:15; 11), (14:15; 15).

Движение второго пешехода (из В в А):
1. Начало пути: 10:00, расстояние 15 км от А. Точка на графике (10:00; 15 км).
2. Движение до остановки: Двигался 1 ч (с 10:00 до 11:00) со скоростью 6 км/ч. Пройденное расстояние: $S = 6 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 6$ км. Расстояние от А: $15 - 6 = 9$ км. Время в конце участка: 11:00. Точка на графике (11:00; 9 км).
3. Остановка: Длилась 45 мин. Время в конце остановки: 11:00 + 45 мин = 11:45. Расстояние не изменилось. Точка на графике (11:45; 9 км).
4. Движение до пункта А: Оставшееся расстояние: 9 км. Скорость 4 км/ч. Время в пути: $t = 9 \text{ км} / 4 \text{ км/ч} = 2.25$ ч, что составляет 2 ч 15 мин. Время прибытия в А: 11:45 + 2 ч 15 мин = 14:00. Точка на графике (14:00; 0 км).
График второго пешехода – это ломаная линия, соединяющая точки: (10:00; 15), (11:00; 9), (11:45; 9), (14:00; 0).

Определение точки встречи:
Точка встречи – это точка пересечения графиков. Из анализа графиков видно, что встреча произойдет в интервале времени, когда оба пешехода движутся. Рассмотрим интервал с 11:45 до 13:00.
В 11:45 (или $11.75$ ч) второй пешеход находится на отметке 9 км от А и начинает движение.
Положение первого пешехода в 11:45: он движется с 11:00. За 45 мин ($0.75$ ч) он прошел $3 \text{ км/ч} \times 0.75 \text{ ч} = 2.25$ км. Его положение: $5 \text{ км} + 2.25 \text{ км} = 7.25$ км от А.
Пусть $t$ – время в часах, прошедшее с 11:45.
Уравнение движения первого пешехода: $S_1(t) = 7.25 + 3t$.
Уравнение движения второго пешехода: $S_2(t) = 9 - 4t$.
В момент встречи $S_1(t) = S_2(t)$:
$7.25 + 3t = 9 - 4t$
$7t = 9 - 7.25$
$7t = 1.75$
$t = 1.75 / 7 = 0.25$ часа.
$0.25$ часа – это 15 минут.
Время встречи: 11:45 + 15 мин = 12:00.
Расстояние от пункта А в момент встречи: $S = 7.25 + 3 \times 0.25 = 7.25 + 0.75 = 8$ км.
Проверка по второму пешеходу: $S = 9 - 4 \times 0.25 = 9 - 1 = 8$ км.

Ответ: Встреча произошла в 12:00 на расстоянии 8 км от пункта А.

Кто из них раньше пришёл в пункт назначения и на сколько?

Для ответа на этот вопрос сравним время прибытия каждого пешехода в свой пункт назначения, рассчитанное в предыдущем пункте.
Время прибытия первого пешехода в пункт В: 14:15.
Время прибытия второго пешехода в пункт А: 14:00.
Сравнивая время, видим, что второй пешеход пришел раньше.
Разница во времени составляет: 14:15 – 14:00 = 15 минут.

Ответ: Второй пешеход пришёл в пункт назначения раньше на 15 минут.