Номер 117, страница 26, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

117 Сократи дроби:

1) используя признаки делимости: $ \frac{105}{210}, \frac{1400}{600}, \frac{135}{162}, \frac{375}{500} $

2) разложив сначала числитель и знаменатель на множители: $ \frac{148}{592}, \frac{1386}{756} $

1) используя признаки делимости:

Для дроби $\frac{105}{210}$: числитель 105 и знаменатель 210 оканчиваются на 5 и 0, следовательно, оба числа делятся на 5. Также можно заметить, что $210 = 2 \cdot 105$. Сократим дробь на 105.
$\frac{105}{210} = \frac{105 \div 105}{210 \div 105} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

Для дроби $\frac{1400}{600}$: числитель и знаменатель оканчиваются на два нуля, значит, их можно сократить на 100.
$\frac{1400}{600} = \frac{1400 \div 100}{600 \div 100} = \frac{14}{6}$.
Теперь числитель 14 и знаменатель 6 являются четными числами, поэтому их можно сократить на 2.
$\frac{14}{6} = \frac{14 \div 2}{6 \div 2} = \frac{7}{3}$.
Ответ: $\frac{7}{3}$.

Для дроби $\frac{135}{162}$: проверим делимость на 3 и 9 по сумме цифр.

Сумма цифр числителя 135: $1+3+5=9$. Число делится на 9.
Сумма цифр знаменателя 162: $1+6+2=9$. Число делится на 9.
Сократим дробь на 9:
$\frac{135}{162} = \frac{135 \div 9}{162 \div 9} = \frac{15}{18}$.
Числа 15 и 18 делятся на 3.
$\frac{15}{18} = \frac{15 \div 3}{18 \div 3} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

Для дроби $\frac{375}{500}$: числитель и знаменатель оканчиваются на 75 и 00, что означает их делимость на 25.
Сократим дробь на 25:
$\frac{375}{500} = \frac{375 \div 25}{500 \div 25} = \frac{15}{20}$.
Теперь числитель 15 и знаменатель 20 делятся на 5.
$\frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) разложив сначала числитель и знаменатель на множители:

Для дроби $\frac{148}{592}$:
Разложим числитель 148 на простые множители:
$148 = 2 \cdot 74 = 2 \cdot 2 \cdot 37 = 2^2 \cdot 37$.
Разложим знаменатель 592 на простые множители:
$592 = 2 \cdot 296 = 2 \cdot 2 \cdot 148 = 2 \cdot 2 \cdot (2^2 \cdot 37) = 2^4 \cdot 37$.
Теперь представим дробь в виде разложения на множители и сократим:
$\frac{148}{592} = \frac{2^2 \cdot 37}{2^4 \cdot 37} = \frac{1}{2^{4-2}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

Для дроби $\frac{1386}{756}$:
Разложим числитель 1386 на простые множители:
$1386 = 2 \cdot 693 = 2 \cdot 9 \cdot 77 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11$.
Разложим знаменатель 756 на простые множители:
$756 = 2 \cdot 378 = 2 \cdot 2 \cdot 189 = 2^2 \cdot 9 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot (3 \cdot 7) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$.
Теперь представим дробь в виде разложения на множители и сократим:
$\frac{1386}{756} = \frac{2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11}{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7} = \frac{11}{2 \cdot 3} = \frac{11}{6}$.
Ответ: $\frac{11}{6}$.