Номер 120, страница 26, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

120 Приведи дроби с натуральными числителями и знаменателями к наимень- шему общему знаменателю:

1) $\frac{14}{75}$ и $\frac{8}{15}$;

2) $\frac{9}{16}$ и $\frac{4}{9}$;

3) $\frac{5}{12}$ и $\frac{3}{8}$;

4) $\frac{7}{32}$ и $\frac{13}{24}$;

5) $\frac{8}{105}$ и $\frac{7}{135}$;

6) $\frac{13}{25}$, $\frac{11}{15}$ и $\frac{3}{20}$;

7) $\frac{5}{2a}$ и $\frac{8}{3a}$;

8) $\frac{b}{8cd}$ и $\frac{n}{10d}$.

1) Даны дроби $ \frac{14}{75} $ и $ \frac{8}{15} $. Чтобы привести их к наименьшему общему знаменателю, найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 75 и 15.
Поскольку $75 = 15 \cdot 5$, число 75 делится на 15. Следовательно, НОК(75, 15) = 75.
Первая дробь $ \frac{14}{75} $ уже имеет знаменатель 75.
Для второй дроби $ \frac{8}{15} $ найдем дополнительный множитель: $ 75 \div 15 = 5 $.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 5:
$ \frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{40}{75} $.
Таким образом, дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю, равны $ \frac{14}{75} $ и $ \frac{40}{75} $.
Ответ: $ \frac{14}{75} $ и $ \frac{40}{75} $.

2) Даны дроби $ \frac{9}{16} $ и $ \frac{4}{9} $. Найдем НОК знаменателей 16 и 9.
Разложим знаменатели на простые множители: $ 16 = 2^4 $, $ 9 = 3^2 $.
Числа 16 и 9 взаимно простые, так как у них нет общих простых множителей. Их НОК равно их произведению:
НОК(16, 9) = $ 16 \cdot 9 = 144 $.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $ \frac{9}{16} $ дополнительный множитель равен $ 144 \div 16 = 9 $.
$ \frac{9}{16} = \frac{9 \cdot 9}{16 \cdot 9} = \frac{81}{144} $.
Для $ \frac{4}{9} $ дополнительный множитель равен $ 144 \div 9 = 16 $.
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16} = \frac{64}{144} $.
Ответ: $ \frac{81}{144} $ и $ \frac{64}{144} $.

3) Даны дроби $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{3}{8} $. Найдем НОК знаменателей 12 и 8.
Разложим на множители: $ 12 = 2^2 \cdot 3 $, $ 8 = 2^3 $.
НОК(12, 8) = $ 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 $.
Найдем дополнительные множители:
Для $ \frac{5}{12} $: $ 24 \div 12 = 2 $.
$ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24} $.
Для $ \frac{3}{8} $: $ 24 \div 8 = 3 $.
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} $.
Ответ: $ \frac{10}{24} $ и $ \frac{9}{24} $.

4) Даны дроби $ \frac{7}{32} $ и $ \frac{13}{24} $. Найдем НОК знаменателей 32 и 24.
Разложим на множители: $ 32 = 2^5 $, $ 24 = 2^3 \cdot 3 $.
НОК(32, 24) = $ 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96 $.
Найдем дополнительные множители:
Для $ \frac{7}{32} $: $ 96 \div 32 = 3 $.
$ \frac{7}{32} = \frac{7 \cdot 3}{32 \cdot 3} = \frac{21}{96} $.
Для $ \frac{13}{24} $: $ 96 \div 24 = 4 $.
$ \frac{13}{24} = \frac{13 \cdot 4}{24 \cdot 4} = \frac{52}{96} $.
Ответ: $ \frac{21}{96} $ и $ \frac{52}{96} $.

5) Даны дроби $ \frac{8}{105} $ и $ \frac{7}{135} $. Найдем НОК знаменателей 105 и 135.
Разложим на множители: $ 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7 $, $ 135 = 3^3 \cdot 5 $.
НОК(105, 135) = $ 3^3 \cdot 5 \cdot 7 = 27 \cdot 5 \cdot 7 = 945 $.
Найдем дополнительные множители:
Для $ \frac{8}{105} $: $ 945 \div 105 = 9 $.
$ \frac{8}{105} = \frac{8 \cdot 9}{105 \cdot 9} = \frac{72}{945} $.
Для $ \frac{7}{135} $: $ 945 \div 135 = 7 $.
$ \frac{7}{135} = \frac{7 \cdot 7}{135 \cdot 7} = \frac{49}{945} $.
Ответ: $ \frac{72}{945} $ и $ \frac{49}{945} $.

6) Даны дроби $ \frac{13}{25} $, $ \frac{11}{15} $ и $ \frac{3}{20} $. Найдем НОК знаменателей 25, 15 и 20.
Разложим на множители: $ 25 = 5^2 $, $ 15 = 3 \cdot 5 $, $ 20 = 2^2 \cdot 5 $.
НОК(25, 15, 20) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300 $.
Найдем дополнительные множители:
Для $ \frac{13}{25} $: $ 300 \div 25 = 12 $. $ \frac{13}{25} = \frac{13 \cdot 12}{25 \cdot 12} = \frac{156}{300} $.
Для $ \frac{11}{15} $: $ 300 \div 15 = 20 $. $ \frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 20}{15 \cdot 20} = \frac{220}{300} $.
Для $ \frac{3}{20} $: $ 300 \div 20 = 15 $. $ \frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 15}{20 \cdot 15} = \frac{45}{300} $.
Ответ: $ \frac{156}{300} $, $ \frac{220}{300} $ и $ \frac{45}{300} $.

7) Даны дроби $ \frac{5}{2a} $ и $ \frac{8}{3a} $. Найдем НОК знаменателей $ 2a $ и $ 3a $.
Наименьший общий знаменатель состоит из НОК числовых коэффициентов и всех переменных в наивысшей степени.
НОК(2, 3) = 6. Переменная часть - $ a $.
НОК($ 2a, 3a $) = $ 6a $.
Найдем дополнительные множители:
Для $ \frac{5}{2a} $: $ \frac{6a}{2a} = 3 $. $ \frac{5}{2a} = \frac{5 \cdot 3}{2a \cdot 3} = \frac{15}{6a} $.
Для $ \frac{8}{3a} $: $ \frac{6a}{3a} = 2 $. $ \frac{8}{3a} = \frac{8 \cdot 2}{3a \cdot 2} = \frac{16}{6a} $.
Ответ: $ \frac{15}{6a} $ и $ \frac{16}{6a} $.

8) Даны дроби $ \frac{b}{8cd} $ и $ \frac{n}{10d} $. Найдем НОК знаменателей $ 8cd $ и $ 10d $.
Найдем НОК числовых коэффициентов: НОК(8, 10). $ 8 = 2^3, 10 = 2 \cdot 5 $. НОК(8, 10) = $ 2^3 \cdot 5 = 40 $.
Найдем НОК переменных частей: $ cd $ и $ d $. НОК($ cd, d $) = $ cd $.
Общий знаменатель: $ 40cd $.
Найдем дополнительные множители:
Для $ \frac{b}{8cd} $: $ \frac{40cd}{8cd} = 5 $. $ \frac{b}{8cd} = \frac{b \cdot 5}{8cd \cdot 5} = \frac{5b}{40cd} $.
Для $ \frac{n}{10d} $: $ \frac{40cd}{10d} = 4c $. $ \frac{n}{10d} = \frac{n \cdot 4c}{10d \cdot 4c} = \frac{4cn}{40cd} $.
Ответ: $ \frac{5b}{40cd} $ и $ \frac{4cn}{40cd} $.