Номер 125, страница 27, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

125 Построй математическую модель задачи.

1) В двух библиотеках 2280 книг. Когда первая библиотека передала второй 180 книг, во второй библиотеке оказалось книг в 2 раза больше, чем в первой. Сколько книг было первоначально в каждой библиотеке?

2) Экскурсанты переправлялись через реку в лодках. Если бы в каждую лодку село по 6 человек, то не хватило бы места для 4 человек. Если бы в каждую лодку село по 8 человек, то одна лодка оказалась бы свободной. Сколько было лодок и сколько экскурсантов?

3) Трое рабочих сделали 105 тумбочек. Первый рабочий сделал в 2 раза больше тумбочек, чем второй и третий вместе, а второй рабочий на 5 больше, чем третий. Сколько тумбочек сделал каждый?

1)

Построим математическую модель задачи. Пусть $x$ — первоначальное количество книг в первой библиотеке, а $y$ — первоначальное количество книг во второй библиотеке.

Суммарное количество книг в двух библиотеках составляет 2280. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 2280$

Когда первая библиотека передала 180 книг второй, количество книг в ней стало $x - 180$, а во второй — $y + 180$. По условию, после этого во второй библиотеке книг стало в 2 раза больше, чем в первой. Это дает нам второе уравнение:

$y + 180 = 2 \cdot (x - 180)$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 2280 \\ y + 180 = 2(x - 180) \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2280 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(2280 - x) + 180 = 2x - 360$

Решим полученное уравнение:

$2460 - x = 2x - 360$

$2460 + 360 = 2x + x$

$2820 = 3x$

$x = \frac{2820}{3}$

$x = 940$

Итак, первоначально в первой библиотеке было 940 книг.

Теперь найдем количество книг во второй библиотеке, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 2280 - 940 = 1340$

Первоначально во второй библиотеке было 1340 книг.

Ответ: первоначально в первой библиотеке было 940 книг, а во второй — 1340 книг.

2)

Обозначим количество лодок через $x$, а количество экскурсантов через $y$.

Из первого условия, если в каждую из $x$ лодок посадить по 6 человек, то для 4 человек места не хватит. Это означает, что общее количество экскурсантов равно количеству мест в лодках плюс еще 4 человека. Составим уравнение:

$y = 6x + 4$

Из второго условия, если в каждую лодку посадить по 8 человек, то одна лодка окажется свободной. Это означает, что все экскурсанты разместились в $x-1$ лодках по 8 человек в каждой. Составим второе уравнение:

$y = 8(x - 1)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными. Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:

$6x + 4 = 8(x - 1)$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$6x + 4 = 8x - 8$

$4 + 8 = 8x - 6x$

$12 = 2x$

$x = 6$

Таким образом, всего было 6 лодок.

Для нахождения количества экскурсантов подставим значение $x$ в любое из первоначальных уравнений. Используем первое:

$y = 6 \cdot 6 + 4 = 36 + 4 = 40$

Итак, было 40 экскурсантов.

Ответ: было 6 лодок и 40 экскурсантов.

3)

Пусть $w_1$, $w_2$ и $w_3$ — количество тумбочек, которые сделал первый, второй и третий рабочий соответственно.

Вместе они сделали 105 тумбочек, что дает нам уравнение:

$w_1 + w_2 + w_3 = 105$

По условию, первый рабочий сделал в 2 раза больше тумбочек, чем второй и третий вместе. Это можно записать так:

$w_1 = 2(w_2 + w_3)$

Также известно, что второй рабочий сделал на 5 тумбочек больше, чем третий:

$w_2 = w_3 + 5$

Мы получили систему из трех уравнений. Заметим, что из первого и второго уравнений можно легко найти $w_1$. Подставим выражение для $w_1$ из второго уравнения в первое:

$2(w_2 + w_3) + (w_2 + w_3) = 105$

$3(w_2 + w_3) = 105$

$w_2 + w_3 = \frac{105}{3}$

$w_2 + w_3 = 35$

Теперь, зная сумму $w_2 + w_3$, найдем $w_1$:

$w_1 = 2(w_2 + w_3) = 2 \cdot 35 = 70$

Первый рабочий сделал 70 тумбочек.

Осталось найти $w_2$ и $w_3$, используя систему:

$\begin{cases} w_2 + w_3 = 35 \\ w_2 = w_3 + 5 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$(w_3 + 5) + w_3 = 35$

$2w_3 + 5 = 35$

$2w_3 = 30$

$w_3 = 15$

Третий рабочий сделал 15 тумбочек.

Теперь найдем, сколько сделал второй рабочий:

$w_2 = w_3 + 5 = 15 + 5 = 20$

Второй рабочий сделал 20 тумбочек.

Ответ: первый рабочий сделал 70 тумбочек, второй — 20 тумбочек, а третий — 15 тумбочек.