Номер 107, страница 23, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

107 Построй математические модели задач.

1) У Вити было на 80 р. больше, чем у Маши. Когда Витя потратил половину своих денег, у него стало на 10 р. меньше, чем было у Маши. Сколько денег было у Маши и Вити вместе первоначально?

2) В трёх посёлках живут 6000 жителей. Во втором посёлке вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем на 500 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей во втором посёлке?

3) Из города А в город В выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста на 30 км/ч меньше скорости мотоциклиста, поэтому он затратил на весь путь на 4 ч больше. С какой скоростью ехал мотоциклист, если расстояние между городами 90 км?

4) Пешеход должен был пройти 12 км за определённый срок, но он был задержан с выходом на 1 ч. Поэтому ему пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью шёл пешеход, если он пришёл вовремя?

1)

Пусть у Маши было $М$ рублей, а у Вити $В$ рублей.
Из условия задачи известно, что у Вити было на 80 рублей больше, чем у Маши. Это можно записать в виде уравнения:
$В = М + 80$
Когда Витя потратил половину своих денег, у него осталось $В/2$. Эта сумма была на 10 рублей меньше, чем у Маши. Составим второе уравнение:
$В/2 = М - 10$
Получили систему из двух уравнений:
$ \begin{cases}В = М + 80 \\В/2 = М - 10 \end{cases} $
Выразим $В$ из второго уравнения: $В = 2(М - 10) = 2М - 20$.
Теперь приравняем правые части выражений для $В$:
$М + 80 = 2М - 20$
$80 + 20 = 2М - М$
$М = 100$
Значит, у Маши было 100 рублей. Теперь найдем, сколько денег было у Вити:
$В = 100 + 80 = 180$
У Вити было 180 рублей.
Вместе у них было:
$В + М = 180 + 100 = 280$
Ответ: 280 рублей.

2)

Пусть в первом посёлке живёт $x$ жителей.
Тогда во втором посёлке живёт вдвое больше, то есть $2x$ жителей.
В третьем посёлке на 500 жителей меньше, чем во втором, то есть $2x - 500$ жителей.
Всего в трёх посёлках живёт 6000 жителей. Составим уравнение:
$x + 2x + (2x - 500) = 6000$
Решим это уравнение:
$5x - 500 = 6000$
$5x = 6000 + 500$
$5x = 6500$
$x = 6500 / 5$
$x = 1300$
Итак, в первом посёлке 1300 жителей. Нас интересует количество жителей во втором посёлке.
$2x = 2 \cdot 1300 = 2600$
Ответ: 2600 жителей.

3)

Пусть скорость мотоциклиста равна $x$ км/ч.
Тогда скорость велосипедиста равна $x - 30$ км/ч.
Расстояние $S = 90$ км.
Время, которое затратил на путь мотоциклист: $t_м = S / v_м = 90 / x$ часов.
Время, которое затратил на путь велосипедист: $t_в = S / v_в = 90 / (x - 30)$ часов.
Велосипедист затратил на 4 часа больше. Составим уравнение:
$t_в - t_м = 4$
$90 / (x - 30) - 90 / x = 4$
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$(90x - 90(x - 30)) / (x(x - 30)) = 4$
$(90x - 90x + 2700) / (x^2 - 30x) = 4$
$2700 / (x^2 - 30x) = 4$
$2700 = 4(x^2 - 30x)$
$x^2 - 30x = 2700 / 4$
$x^2 - 30x = 675$
$x^2 - 30x - 675 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-675) = 900 + 2700 = 3600$
$\sqrt{D} = 60$
$x_1 = (-b + \sqrt{D}) / 2a = (30 + 60) / 2 = 90 / 2 = 45$
$x_2 = (-b - \sqrt{D}) / 2a = (30 - 60) / 2 = -30 / 2 = -15$
Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x = 45$ км/ч.
Ответ: 45 км/ч.

4)

Пусть планируемая скорость пешехода была $v$ км/ч, а планируемое время $t$ часов.
Расстояние $S = 12$ км. Тогда $S = v \cdot t$, то есть $12 = v \cdot t$.
Из-за задержки на 1 час, время в пути составило $t - 1$ часов.
Чтобы успеть, пешеход увеличил скорость на 1 км/ч, то есть его реальная скорость стала $v + 1$ км/ч.
Он прошёл то же расстояние, поэтому: $12 = (v + 1)(t - 1)$.
Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} vt = 12 \\ (v + 1)(t - 1) = 12 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $t = 12/v$ и подставим во второе:
$(v + 1)(12/v - 1) = 12$
$(v + 1) \cdot ((12 - v) / v) = 12$
Умножим обе части на $v$ (скорость не равна нулю):
$(v + 1)(12 - v) = 12v$
$12v - v^2 + 12 - v = 12v$
$-v^2 + 11v + 12 = 12v$
$-v^2 - v + 12 = 0$
$v^2 + v - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант.
Корни уравнения: $v_1 = 3$ и $v_2 = -4$.
Скорость не может быть отрицательной, значит, планируемая скорость $v = 3$ км/ч.
Вопрос задачи: "С какой скоростью шёл пешеход?". Это реальная скорость.
Реальная скорость была $v + 1 = 3 + 1 = 4$ км/ч.
Ответ: 4 км/ч.