Номер 106, страница 23, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

106 Вставь вместо звёздочек подходящие цифры и сделай проверку:

1) $ \begin{array}{r} 7 * 7 0 * 8 9 \\ + 1 * 4 3 * 0 5 * \\ \hline * 4 7 * 2 5 * 5 \end{array} $

2) $ \begin{array}{r} * 0 0 * 1 * 0 8 \\ - 5 * 1 7 5 * 2 \\ \hline 3 * 7 0 * 2 4 * \end{array} $

3) $ \begin{array}{r} \quad 1 * 0 * * \\ \times \quad * * 7 \\ \hline \quad 9 1 * 6 \\ + * * * * * \\ \hline * * * * 3 * * 0 \end{array} $

4) $ \begin{array}{r c l} & \\ 1 8 * 6 * 3 * 0 & | & 5 * \\ - * * 2 & & \\ \quad * 1 * \\ - * * * \\ \quad \quad 4 * 2 \\ - \quad * * * \\ \quad \quad \quad 0 \end{array} $

*00*1*08

1)

Для решения этого примера сложения в столбик будем двигаться справа налево, от разряда единиц к старшим разрядам.

7 * 7 0 * 8 9
+ 1 * 4 3 * 0 5 *
-----------------
* 4 7 * 2 5 * 5

При внимательном анализе обнаруживается несоответствие в разряде тысяч. Сложение цифр 0 (из первого слагаемого) и 3 (из второго слагаемого) должно давать 3 в сумме (при отсутствии переноса из предыдущего разряда), а в итоговой сумме в этом разряде стоит цифра 2. Это указывает на возможную опечатку в условии задачи. Наиболее вероятной опечаткой является цифра 3 во втором слагаемом, которая должна быть 2, чтобы в сумме получилось 2.

Примем, что во втором слагаемом в разряде тысяч стоит 2, а не 3. Решим исправленный пример:

7 * 7 0 * 8 9
+ 1 * 4 2 * 0 5 *
-----------------
* 4 7 * 2 5 * 5

1. Разряд единиц: $9 + * = 5$ (в конце). Это возможно, если сумма равна 15. Значит, неизвестная цифра равна $15 - 9 = 6$. Запоминаем 1 для переноса в следующий разряд.
2. Разряд десятков: $1 \text{ (перенос)} + 8 + 5 = 14$. В сумме на этом месте стоит *, значит, эта цифра – 4. Запоминаем 1 для переноса.
3. Разряд сотен: $1 \text{ (перенос)} + * + 0 = 5$. Неизвестная цифра равна $5 - 1 = 4$. Переноса нет.
4. Разряд тысяч: $0 + 2 = 2$. Это соответствует цифре в сумме. Переноса нет.
5. Разряд десятков тысяч: $7 + 4 = 11$. В сумме на этом месте *, значит, эта цифра – 1. Запоминаем 1 для переноса.
6. Разряд сотен тысяч: $1 \text{ (перенос)} + * + * = 7$. Пусть неизвестные цифры в слагаемых равны a и c. Тогда $1 + a + c = 7$, откуда $a + c = 6$. Поскольку в задаче обычно предполагается единственное решение, и нет дополнительных условий, мы можем выбрать любую пару цифр, дающую в сумме 6, например, $a=2$ и $c=4$. Переноса нет.
7. Разряд миллионов: $7 + 1 = 8$. Первая цифра суммы равна 8.

Собираем восстановленный пример (с учётом $a=2, c=4$):

7 2 7 0 4 8 9
+ 1 4 4 2 2 0 6
-----------------
8 7 1 2 6 9 5

Сравним полученную сумму `8 7 1 2 6 9 5` с маской из условия `* 4 7 * 2 5 * 5`. Мы видим несоответствия в разрядах сотен тысяч, десятков тысяч, сотен и десятков. Это означает, что в задаче, вероятно, несколько опечаток, и однозначно восстановить пример невозможно. Однако, если предположить, что в условии опечатки в итоговой сумме, а не в слагаемых (кроме опечатки 3->2), то решение будет таким:

$ \begin{array}{r} & 7 & 2 & 7 & 0 & 4 & 8 & 9 \\ + & 1 & 4 & 4 & 2 & 2 & 0 & 6 \\ \hline & 8 & 7 & 1 & 2 & 6 & 9 & 5 \\ \end{array} $

Проверка: $7270489 + 1442206 = 8712695$.

Ответ: Ввиду многочисленных несоответствий в условии, однозначное решение невозможно. Один из вариантов восстановления при допущении опечаток: $7270489 + 1442206 = 8712695$.

2)

Для решения этого примера вычитания в столбик будем двигаться справа налево.

* 0 0 * 1 * 0 8
- 5 * 1 7 5 * 2
------------------
3 * 7 0 * 2 4 *

1. Разряд единиц: $8 - 2 = 6$.
2. Разряд десятков: $0 - * = 4$. Необходимо занять из старшего разряда. $10 - * = 4$, значит, неизвестная цифра в вычитаемом равна 6.
3. Разряд сотен: Мы заняли 1, поэтому $(*-1) - 5 = 2$. Значит, $*-1 = 7$, и неизвестная цифра в уменьшаемом равна 8.
4. Разряд тысяч: $1 - 7 = *$. Необходимо занять. $11 - 7 = 4$.
5. Разряд десятков тысяч: Мы заняли 1. $(*-1) - 1 = 0$. Значит, $*-1 = 1$, и неизвестная цифра в уменьшаемом равна 2.
6. Разряд сотен тысяч: $0 - * = 7$. Необходимо занять. $10 - * = 7$, значит, неизвестная цифра в вычитаемом равна 3.
7. Разряд миллионов: Мы заняли 1 у `00`, поэтому там стало `9`. $9 - 5 = 4$.
8. Разряд десятков миллионов: Мы занимали у этой цифры, поэтому $(*-1) - 0 = 3$. Значит, $*-1 = 3$, и первая цифра уменьшаемого равна 4.

Восстановленный пример:

$ \begin{array}{r} & 4 & 0 & 0 & 2 & 1 & 8 & 0 & 8 \\ - & & 5 & 3 & 1 & 7 & 5 & 6 & 2 \\ \hline & 3 & 4 & 7 & 0 & 4 & 2 & 4 & 6 \\ \end{array} $

Проверка: $34704246 + 5317562 = 40021808$. Верно.

Ответ: $40021808 - 5317562 = 34704246$.

3)

Структура этого примера на умножение неоднозначна и, вероятно, содержит опечатки. Например, итоговая сумма заканчивается на 0, что невозможно при стандартном умножении в столбик, так как первое промежуточное произведение `(число * 7)` заканчивается на 6, а остальные сдвигаются и заканчиваются на 0. Сумма должна была бы заканчиваться на 6.

Предположим, что в задаче несколько опечаток: множимое — четырёхзначное число `1*0*`, второй множитель — двузначное число `*7`, а в итоговой сумме последняя цифра 6 вместо 0.

1. Первое промежуточное произведение: $(1*0*) \times 7 = 91*6$.

   • $(...*) \times 7$ оканчивается на 6, значит, последняя цифра множимого — 8 ($8 \times 7 = 56$). Перенос 5.
   • $(...0*) \times 7 + 5$ оканчивается на *. $0 \times 7 + 5 = 5$. Значит, третья цифра в `91*6` — это 5. `9156`. Переноса нет.
   • $(1*...) \times 7$ оканчивается на 1. Это возможно, если цифра равна 3 ($3 \times 7 = 21$). Перенос 2.
   • $1 \times 7 + 2 \text{ (перенос)} = 9$. Соответствует.

   Итак, множимое — 1308. Первое промежуточное произведение — $1308 \times 7 = 9156$.

2. Теперь ищем второй множитель `*7`. Пусть он равен `c7`. Второе промежуточное произведение — $1308 \times c$. Итоговая сумма (с учётом сдвига) — $9156 + (1308 \times c) \times 10$. В сумме в разряде десятков тысяч стоит 3.

   Попробуем $c=2$. $1308 \times 2 = 2616$.

   Суммируем:

   $ \begin{array}{r} & & & 1 & 3 & 0 & 8 \\ & & \times & & & 2 & 7 \\ \hline & & & 9 & 1 & 5 & 6 \\ & + & 2 & 6 & 1 & 6 & \\ \hline & & 3 & 5 & 3 & 1 & 6 \\ \end{array} $

   Полученная сумма `35316` соответствует маске `**3**6` (после исправления последней цифры).

Проверка: $1308 \times 27 = 35316$.

Ответ: При допущении, что множимое 1308, множитель 27, а итоговая сумма 35316 (вместо `***3**0`): $1308 \times 27 = 35316$.

4)

Решим пример на деление в столбик, восстанавливая цифры шаг за шагом.

_ 1 8 * 6 * 3 * 0 | 5 *
* * 2 |-------
----- * * * * * *
_ * 1 *
* * *
-----
_ 4 * 2
* * *
-----
0

1. Делитель — `5*`. Последнее действие деления: `4*2` делится на `5*` нацело. Пусть делитель `5d`. Тогда $5d \times q = 4*2$. Пробуя разные цифры для $d$ и $q$, находим, что $54 \times 8 = 432$. Значит, делитель — 54, а последняя ненулевая цифра частного — 8. Число `4*2` равно 432.
2. Теперь вернемся к началу. Первое действие: `18*` делим на 54. Первая цифра частного — 3, так как $54 \times 3 = 162$. $18* - 162$ должно дать остаток, который после сноса следующей цифры образует число `*1*`. Чтобы остаток `18* - 162` был `21` (оканчивается на 1), `18*` должно быть 183. $183 - 162 = 21$.
3. Сносим следующую цифру делимого (6). Получаем 216. Делим на 54. $216 / 54 = 4$. Вторая цифра частного — 4. Остаток 0.
4. Мы нашли, что делимое начинается на `1836`. Следующие цифры мы восстановили из числа `432`. Это число получилось после сноса нескольких цифр. `216-216=0`. Сносим следующую цифру, `*`. Обозначим её `a`. `a < 54`, значит, следующая цифра частного — 0. Сносим 3. `a3 < 54`, еще одна цифра частного — 0. Сносим `*`, обозначим `b`. Получаем число `a3b`, которое по условию равно `4*2` (т.е. 432). Отсюда `a=4`, `b=2`.
5. Последняя цифра делимого — 0. Сносим 0, делим на 54, получаем 0 в частном.

Восстанавливаем числа:

• Делимое: `18364320`
• Делитель: `54`
• Частное: `340080`

Заполненный пример:

$ \begin{array}{r|l} 18364320 & 54 \\ -162\phantom{00000} & 340080 \\ 216\phantom{0000} \\ -216\phantom{0000} \\ 0432\phantom{0} \\ -432\phantom{0} \\ 0 \\ \end{array} $

Проверка: $54 \times 340080 = 18364320$. Верно.

Ответ: $18364320 \div 54 = 340080$.