Номер 105, страница 23, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

105 У натуральных чисел есть много удивительных свойств. Возьмём какое-нибудь натуральное число $n \in N$, например $n = 6$. Запишем множество его делителей $D (6) = \{1; 2; 3; 6\}$ и для каждого элемента множества $D (6)$ запишем, сколько у него различных делителей: 1, 2, 2, 4. Полученные числа обладают следующей особенностью: сумма кубов этих чисел равна квадрату их суммы, то есть $1^3 + 2^3 + 2^3 + 4^3 = (1 + 2 + 2 + 4)^2$. Проверь это равенство, а потом указанное свойство для числа 12 и ещё для какого-нибудь числа по своему выбору.

Проверка равенства для n = 6

В задаче дано равенство для числа $n=6$: $1^3 + 2^3 + 2^3 + 4^3 = (1 + 2 + 2 + 4)^2$. Проверим его, вычислив левую и правую части.

Левая часть (сумма кубов):
$1^3 + 2^3 + 2^3 + 4^3 = 1 + 8 + 8 + 64 = 81$.

Правая часть (квадрат суммы):
$(1 + 2 + 2 + 4)^2 = 9^2 = 81$.

Поскольку $81 = 81$, равенство, указанное в задаче, является верным.

Ответ: Равенство для $n=6$ верно.

Проверка указанного свойства для числа 12

1. Найдём все натуральные делители числа $n=12$. Множество делителей $D(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

2. Для каждого делителя $d$ из множества $D(12)$ найдём количество его собственных делителей (обозначим это количество как $\tau(d)$):
Для $d=1$: делители $\{1\}$, $\tau(1)=1$.
Для $d=2$: делители $\{1, 2\}$, $\tau(2)=2$.
Для $d=3$: делители $\{1, 3\}$, $\tau(3)=2$.
Для $d=4$: делители $\{1, 2, 4\}$, $\tau(4)=3$.
Для $d=6$: делители $\{1, 2, 3, 6\}$, $\tau(6)=4$.
Для $d=12$: делители $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$, $\tau(12)=6$.

3. Теперь проверим, выполняется ли для полученных чисел $\{1, 2, 2, 3, 4, 6\}$ свойство: сумма их кубов равна квадрату их суммы.

Сумма кубов (левая часть):
$1^3 + 2^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 6^3 = 1 + 8 + 8 + 27 + 64 + 216 = 324$.

Квадрат суммы (правая часть):
$(1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 6)^2 = 18^2 = 324$.

Так как $324 = 324$, свойство выполняется.

Ответ: Для числа 12 указанное свойство выполняется.

Проверка указанного свойства для числа по своему выбору (например, n = 8)

1. В качестве числа по своему выбору возьмём $n=8$. Найдём его делители: $D(8) = \{1, 2, 4, 8\}$.

2. Для каждого делителя $d$ из $D(8)$ найдём количество его делителей $\tau(d)$:
Для $d=1$: делители $\{1\}$, $\tau(1)=1$.
Для $d=2$: делители $\{1, 2\}$, $\tau(2)=2$.
Для $d=4$: делители $\{1, 2, 4\}$, $\tau(4)=3$.
Для $d=8$: делители $\{1, 2, 4, 8\}$, $\tau(8)=4$.

3. Проверим равенство для набора чисел $\{1, 2, 3, 4\}$.

Сумма кубов (левая часть):
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$.

Квадрат суммы (правая часть):
$(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100$.

Так как $100 = 100$, свойство выполняется.

Ответ: Для числа 8 указанное свойство выполняется.