Номер 98, страница 21, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

98 Докажи, что сумма $750384 + 540 \cdot 121$:

а) кратна 9;

б) не делится на 5;

в) делится на 2 и на 3;

г) не кратна 10.

Рассмотрим сумму $S = 750384 + 540 \cdot 121$. Для доказательства утверждений воспользуемся признаками делимости, не вычисляя значение выражения полностью.

а) кратна 9

Чтобы доказать, что сумма кратна 9, проверим, делятся ли на 9 оба слагаемых. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Первое слагаемое: $750384$. Сумма его цифр: $7 + 5 + 0 + 3 + 8 + 4 = 27$. Поскольку $27$ делится на $9$ ($27 : 9 = 3$), то и число $750384$ делится на $9$.
Второе слагаемое: $540 \cdot 121$. Это произведение. Достаточно проверить, делится ли на 9 один из множителей. Рассмотрим множитель $540$. Сумма его цифр: $5 + 4 + 0 = 9$. Поскольку $9$ делится на $9$, то и число $540$ делится на $9$. Значит, все произведение $540 \cdot 121$ также делится на $9$.
Так как оба слагаемых (и $750384$, и $540 \cdot 121$) делятся на $9$, их сумма также делится на $9$.
Ответ: Утверждение доказано.

б) не делится на 5

Чтобы проверить делимость на 5, найдем последнюю цифру значения выражения. Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
Последняя цифра первого слагаемого $750384$ — это $4$.
Последняя цифра второго слагаемого $540 \cdot 121$ определяется последней цифрой произведения последних цифр множителей. Последняя цифра числа $540$ — это $0$, а числа $121$ — это $1$. Произведение их последних цифр: $0 \cdot 1 = 0$. Значит, последняя цифра произведения $540 \cdot 121$ равна $0$.
Последняя цифра суммы $750384 + 540 \cdot 121$ равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых: $4 + 0 = 4$.
Поскольку последняя цифра итоговой суммы равна $4$, это число не делится на $5$.
Ответ: Утверждение доказано.

в) делится на 2 и на 3

Проверим делимость на 2 и на 3 по отдельности.
Делимость на 2: Число делится на 2, если его последняя цифра четная. В пункте б) мы установили, что последняя цифра суммы $750384 + 540 \cdot 121$ равна $4$. Так как $4$ — четное число, то и вся сумма делится на $2$.
Делимость на 3: В пункте а) мы доказали, что сумма $750384 + 540 \cdot 121$ делится на $9$. Любое число, которое делится на $9$, также делится и на $3$, так как $9$ делится на $3$.
Следовательно, данная сумма делится и на 2, и на 3.
Ответ: Утверждение доказано.

г) не кратна 10

Число кратно 10 (то есть делится на 10 без остатка), если его последняя цифра — это 0.
В пункте б) мы выяснили, что последняя цифра суммы $750384 + 540 \cdot 121$ равна $4$.
Поскольку последняя цифра не 0, данная сумма не кратна 10.
Ответ: Утверждение доказано.