Номер 91, страница 21, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

91 Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю. Если возможно, вначале сократи их.

а) $ \frac{1}{2}, \frac{125}{150} $ и $ \frac{28}{63}; $

б) $ \frac{4}{21}, \frac{16}{56} $ и $ \frac{17}{35}; $

в) $ \frac{7}{12}, \frac{5}{18}, \frac{444}{777} $ и $ \frac{120}{720}. $

а) Исходные дроби: $\frac{1}{2}$, $\frac{125}{150}$ и $\frac{28}{63}$.

Вначале сократим дроби, если это возможно.

Дробь $\frac{1}{2}$ является несократимой.

Для дроби $\frac{125}{150}$ найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. $125 = 5 \times 5 \times 5$, $150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5$. НОД(125, 150) = $5 \times 5 = 25$. Сокращаем дробь на 25:

$\frac{125}{150} = \frac{125 \div 25}{150 \div 25} = \frac{5}{6}$.

Для дроби $\frac{28}{63}$ найдем НОД. $28 = 2 \times 2 \times 7$, $63 = 3 \times 3 \times 7$. НОД(28, 63) = 7. Сокращаем дробь на 7:

$\frac{28}{63} = \frac{28 \div 7}{63 \div 7} = \frac{4}{9}$.

Теперь нужно привести к наименьшему общему знаменателю дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{5}{6}$ и $\frac{4}{9}$.

Наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 2, 6 и 9.

Разложим знаменатели на простые множители:
$2 = 2$
$6 = 2 \times 3$
$9 = 3^2$
НОК(2, 6, 9) = $2 \times 3^2 = 18$.

Приведем дроби к знаменателю 18. Для этого найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для $\frac{1}{2}$: дополнительный множитель $18 \div 2 = 9$. Получаем: $\frac{1 \times 9}{2 \times 9} = \frac{9}{18}$.

Для $\frac{5}{6}$: дополнительный множитель $18 \div 6 = 3$. Получаем: $\frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}$.

Для $\frac{4}{9}$: дополнительный множитель $18 \div 9 = 2$. Получаем: $\frac{4 \times 2}{9 \times 2} = \frac{8}{18}$.

Ответ: $\frac{9}{18}$, $\frac{15}{18}$, $\frac{8}{18}$.

б) Исходные дроби: $\frac{4}{21}$, $\frac{16}{56}$ и $\frac{17}{35}$.

Сократим дроби.

Дробь $\frac{4}{21}$ несократимая, так как НОД(4, 21) = 1.

Для дроби $\frac{16}{56}$ НОД(16, 56) = 8. Сокращаем:

$\frac{16}{56} = \frac{16 \div 8}{56 \div 8} = \frac{2}{7}$.

Дробь $\frac{17}{35}$ несократимая, так как 17 — простое число, а 35 на 17 не делится.

Приводим к общему знаменателю дроби $\frac{4}{21}$, $\frac{2}{7}$ и $\frac{17}{35}$.

Найдем НОК знаменателей 21, 7 и 35.

Разложим на множители:
$21 = 3 \times 7$
$7 = 7$
$35 = 5 \times 7$
НОК(21, 7, 35) = $3 \times 5 \times 7 = 105$.

Приведем дроби к знаменателю 105:

Для $\frac{4}{21}$: дополнительный множитель $105 \div 21 = 5$. Получаем: $\frac{4 \times 5}{21 \times 5} = \frac{20}{105}$.

Для $\frac{2}{7}$: дополнительный множитель $105 \div 7 = 15$. Получаем: $\frac{2 \times 15}{7 \times 15} = \frac{30}{105}$.

Для $\frac{17}{35}$: дополнительный множитель $105 \div 35 = 3$. Получаем: $\frac{17 \times 3}{35 \times 3} = \frac{51}{105}$.

Ответ: $\frac{20}{105}$, $\frac{30}{105}$, $\frac{51}{105}$.

в) Исходные дроби: $\frac{7}{12}$, $\frac{5}{18}$, $\frac{444}{777}$ и $\frac{120}{720}$.

Сократим дроби.

Дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{18}$ являются несократимыми.

Для дроби $\frac{444}{777}$ очевидно, что числитель и знаменатель делятся на 111:

$\frac{444}{777} = \frac{444 \div 111}{777 \div 111} = \frac{4}{7}$.

Для дроби $\frac{120}{720}$ сократим сначала на 10, а затем на 12:

$\frac{120}{720} = \frac{12}{72} = \frac{12 \div 12}{72 \div 12} = \frac{1}{6}$.

Приводим к общему знаменателю дроби $\frac{7}{12}$, $\frac{5}{18}$, $\frac{4}{7}$ и $\frac{1}{6}$.

Найдем НОК знаменателей 12, 18, 7 и 6.

Разложим на множители:
$12 = 2^2 \times 3$
$18 = 2 \times 3^2$
$7 = 7$
$6 = 2 \times 3$
НОК(12, 18, 7, 6) = $2^2 \times 3^2 \times 7 = 4 \times 9 \times 7 = 252$.

Приведем дроби к знаменателю 252:

Для $\frac{7}{12}$: дополнительный множитель $252 \div 12 = 21$. Получаем: $\frac{7 \times 21}{12 \times 21} = \frac{147}{252}$.

Для $\frac{5}{18}$: дополнительный множитель $252 \div 18 = 14$. Получаем: $\frac{5 \times 14}{18 \times 14} = \frac{70}{252}$.

Для $\frac{4}{7}$: дополнительный множитель $252 \div 7 = 36$. Получаем: $\frac{4 \times 36}{7 \times 36} = \frac{144}{252}$.

Для $\frac{1}{6}$: дополнительный множитель $252 \div 6 = 42$. Получаем: $\frac{1 \times 42}{6 \times 42} = \frac{42}{252}$.

Ответ: $\frac{147}{252}$, $\frac{70}{252}$, $\frac{144}{252}$, $\frac{42}{252}$.