Номер 84, страница 20, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

84 Знаменатель дроби равен: а) 18; б) 100. Дробь сократили. Может ли знаменатель этой дроби после сокращения стать равным семи? Какие простые множители могут входить в разложение на множители нового знаменателя?

При сокращении дроби ее числитель и знаменатель делятся на их общий делитель. Это означает, что новый знаменатель всегда будет делителем исходного знаменателя.

а) Исходный знаменатель равен 18.

1. Может ли знаменатель стать равным семи?
Чтобы после сокращения знаменатель стал равен 7, число 7 должно быть делителем исходного знаменателя 18. Поскольку 18 не делится нацело на 7, знаменатель этой дроби после сокращения не может стать равным семи.

2. Какие простые множители могут входить в разложение нового знаменателя?
Разложим исходный знаменатель 18 на простые множители: $18 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2$.
Поскольку новый знаменатель является делителем числа 18, его разложение на простые множители может содержать только те простые множители, которые есть в разложении числа 18, и их степень не может превышать степень в разложении числа 18.
Следовательно, в разложение на множители нового знаменателя могут входить только простые множители 2 и 3. Например, если дробь была $\frac{9}{18}$, то после сокращения на 9 она станет $\frac{1}{2}$. Новый знаменатель 2, его простой множитель - 2. Если дробь была $\frac{2}{18}$, то после сокращения на 2 она станет $\frac{1}{9}$. Новый знаменатель $9 = 3^2$, его простой множитель - 3.

Ответ: Знаменатель не может стать равным семи. В разложение нового знаменателя могут входить только простые множители 2 и 3.

б) Исходный знаменатель равен 100.

1. Может ли знаменатель стать равным семи?
Число 7 не является делителем числа 100, так как 100 не делится нацело на 7. Поэтому знаменатель после сокращения не может стать равным семи.

2. Какие простые множители могут входить в разложение нового знаменателя?
Разложим исходный знаменатель 100 на простые множители: $100 = 10 \times 10 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 5^2$.
Простыми множителями числа 100 являются 2 и 5. Любой новый знаменатель, полученный после сокращения, будет делителем числа 100. Следовательно, в его разложение на простые множители могут входить только простые числа 2 и 5. Например, если дробь была $\frac{50}{100}$, она сокращается до $\frac{1}{2}$. Если дробь была $\frac{4}{100}$, она сокращается до $\frac{1}{25}$, где $25 = 5^2$.

Ответ: Знаменатель не может стать равным семи. В разложение нового знаменателя могут входить только простые множители 2 и 5.