Номер 83, страница 20, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

83 Разложи на множители числитель, а затем сократи дробь:

1) $\frac{4a + 4b}{8c}$;

2) $\frac{3x - 6y}{12x}$;

3) $\frac{a^2 + ac}{a^2} (a \neq 0)$;

4) $\frac{9m^2 - m^2}{5mn} (m, n \neq 0)$.

1)

Исходная дробь: $\frac{4a + 4b}{8c}$.
Сначала разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $4$ за скобки:
$4a + 4b = 4(a + b)$.
Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{4(a + b)}{8c}$.
Сократим полученную дробь. Мы можем разделить и числитель, и знаменатель на их общий делитель $4$:
$\frac{4(a + b)}{8c} = \frac{a + b}{2c}$.
Ответ: $\frac{a + b}{2c}$

2)

Исходная дробь: $\frac{3x - 6y}{12x}$.
Разложим числитель на множители. Общий множитель для $3x$ и $6y$ это $3$. Вынесем его за скобки:
$3x - 6y = 3(x - 2y)$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{3(x - 2y)}{12x}$.
Теперь сократим дробь. Общий делитель для коэффициентов в числителе ($3$) и знаменателе ($12$) равен $3$:
$\frac{3(x - 2y)}{12x} = \frac{x - 2y}{4x}$.
Ответ: $\frac{x - 2y}{4x}$

3)

Исходная дробь: $\frac{a^2 + ac}{a^2}$ (при $a \neq 0$).
Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $a$ за скобки:
$a^2 + ac = a(a + c)$.
Подставим разложенный числитель в дробь:
$\frac{a(a + c)}{a^2}$.
Сократим дробь на $a$. Так как по условию $a \neq 0$, мы можем это сделать:
$\frac{a(a + c)}{a \cdot a} = \frac{a + c}{a}$.
Ответ: $\frac{a + c}{a}$

4)

Исходная дробь: $\frac{9m^2 - n^2}{5mn}$ (при $m, n \neq 0$).
Разложим числитель на множители. Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$9m^2 - n^2 = (3m)^2 - n^2 = (3m - n)(3m + n)$.
Подставим разложение в дробь:
$\frac{(3m - n)(3m + n)}{5mn}$.
Теперь попытаемся сократить дробь. У числителя и знаменателя нет общих множителей (кроме $1$), поэтому дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{(3m - n)(3m + n)}{5mn}$