Номер 80, страница 19, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

80 Как разделить сумму, разность и произведение на число? Пользуясь свойствами делимости, докажи или опровергни высказывания:

a) $\frac{5 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{18}_6} = \frac{5 \cdot 1}{6} = \frac{5}{6}$;

б) $\frac{5 + \cancel{3}^1}{\cancel{18}_6} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1.$

Проверь с помощью вычислений.

Можно ли сократить дробь $\frac{5-3}{18}$ ?

Для того чтобы разделить произведение, сумму или разность на число, используются следующие правила, основанные на свойствах делимости:

• Деление произведения: Чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей. При сокращении дроби, в числителе которой находится произведение, можно сокращать любой из множителей со знаменателем. Например, $ \frac{a \cdot b}{c} $. Если $b$ и $c$ имеют общий делитель $d$, то $ \frac{a \cdot b}{c} = \frac{a \cdot (b \div d)}{c \div d} $.
• Деление суммы или разности: Чтобы разделить сумму (или разность) на число, необходимо разделить на это число каждое слагаемое (или уменьшаемое и вычитаемое): $ \frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} $. Нельзя сокращать только одно слагаемое в числителе со знаменателем. Сокращение дроби возможно, если общий множитель можно вынести за скобки во всем числителе, либо после выполнения действия в числителе.

Теперь докажем или опровергнем данные высказывания.

а) $ \frac{5 \cdot 3}{18} = \frac{5 \cdot 1}{6} = \frac{5}{6} $

Это высказывание основано на правиле деления произведения. В числителе стоит произведение $ 5 \cdot 3 $. Мы можем сократить дробь на общий делитель одного из множителей в числителе и знаменателя. Число $3$ в числителе и знаменатель $18$ имеют общий делитель $3$.

Сократим дробь на $3$: разделим множитель $3$ в числителе на $3$ и знаменатель $18$ на $3$.

$ \frac{5 \cdot \sout{3}^1}{\sout{18}_6} = \frac{5 \cdot 1}{6} = \frac{5}{6} $

Преобразование выполнено верно, согласно свойствам делимости произведения. Высказывание истинно.

Проверь с помощью вычислений.

Вычислим левую часть равенства: $ \frac{5 \cdot 3}{18} = \frac{15}{18} $. Сократим дробь $ \frac{15}{18} $, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный $3$:

$ \frac{15 \div 3}{18 \div 3} = \frac{5}{6} $

Правая часть равенства также равна $ \frac{5}{6} $. Поскольку $ \frac{5}{6} = \frac{5}{6} $, вычисления подтверждают, что высказывание верно.

Ответ: высказывание верно.

б) $ \frac{5 + 3}{18} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

Это высказывание основано на неверном применении правила сокращения к сумме. Нельзя сокращать только одно слагаемое в числителе ($3$) и знаменатель ($18$). Чтобы разделить сумму на число, нужно делить на него каждое слагаемое. Правильное преобразование выглядело бы так: $ \frac{5+3}{18} = \frac{5}{18} + \frac{3}{18} $. Показанное в примере сокращение некорректно.

Высказывание ложно.

Проверь с помощью вычислений.

Вычислим значение выражения в левой части, сначала выполнив сложение в числителе:

$ \frac{5 + 3}{18} = \frac{8}{18} $

Сократим полученную дробь на $2$ (наибольший общий делитель $8$ и $18$):

$ \frac{8 \div 2}{18 \div 2} = \frac{4}{9} $

Теперь вычислим значение выражения в правой части:

$ \frac{5+1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

Сравнивая результаты, получаем $ \frac{4}{9} \neq 1 $. Вычисления подтверждают, что исходное высказывание неверно.

Ответ: высказывание неверно.

Можно ли сократить дробь $ \frac{5 - 3}{18} $ ?

Да, эту дробь можно сократить. Как и в случае с суммой, мы не можем сокращать только часть числителя (например, $3$ и $18$). Сначала необходимо выполнить действие в числителе.

Вычислим значение числителя:

$ 5 - 3 = 2 $

Теперь наша дробь имеет вид $ \frac{2}{18} $.

Числитель ($2$) и знаменатель ($18$) имеют общий делитель $2$. Сократим дробь на $2$:

$ \frac{2 \div 2}{18 \div 2} = \frac{1}{9} $

Таким образом, дробь $ \frac{5 - 3}{18} $ можно сократить, и она равна $ \frac{1}{9} $.

Ответ: да, можно. $ \frac{5-3}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} $.