Номер 75, страница 19, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

75 1) Запиши множество натуральных значений переменной $x$, при которых дробь $\frac{x}{12}$ является правильной несократимой дробью.

2) Запиши множество натуральных значений переменной $y$, при которых дробь $\frac{18}{y}$ является неправильной сократимой дробью.

1) Чтобы дробь $\frac{x}{12}$ была правильной, числитель $x$ должен быть меньше знаменателя 12. Поскольку $x$ — натуральное число, возможные значения $x$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$.

Чтобы дробь была несократимой, числитель $x$ и знаменатель 12 не должны иметь общих делителей, кроме 1. То есть, они должны быть взаимно простыми. Разложим знаменатель на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Следовательно, $x$ не должен делиться ни на 2, ни на 3.

Из списка возможных значений $x$ выберем те, которые не делятся на 2 и на 3:

• 1 — не делится ни на 2, ни на 3. Подходит.
• 2 — делится на 2. Не подходит.
• 3 — делится на 3. Не подходит.
• 4 — делится на 2. Не подходит.
• 5 — не делится ни на 2, ни на 3. Подходит.
• 6 — делится на 2 и на 3. Не подходит.
• 7 — не делится ни на 2, ни на 3. Подходит.
• 8 — делится на 2. Не подходит.
• 9 — делится на 3. Не подходит.
• 10 — делится на 2. Не подходит.
• 11 — не делится ни на 2, ни на 3. Подходит.

Таким образом, множество натуральных значений $x$, при которых дробь является правильной несократимой, это $\{1, 5, 7, 11\}$.

Ответ: $\{1, 5, 7, 11\}$.

2) Чтобы дробь $\frac{18}{y}$ была неправильной, числитель 18 должен быть больше или равен знаменателю $y$. Поскольку $y$ — натуральное число, возможные значения $y$: $1, 2, 3, ..., 18$.

Чтобы дробь была сократимой, числитель 18 и знаменатель $y$ должны иметь общий делитель, больший 1. Разложим числитель на простые множители: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$. Следовательно, $y$ должен делиться на 2 или на 3 (или на оба этих числа).

Из списка возможных значений $y$ от 1 до 18 выберем те, которые делятся на 2 или на 3:

Числа, делящиеся на 2: $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18$.
Числа, делящиеся на 3: $3, 6, 9, 12, 15, 18$.
Объединим эти два множества, исключив повторения: $\{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18\}$.
Заметим, что $y=1$ не подходит, так как $НОД(18, 1) = 1$ (дробь несократима).

Таким образом, множество натуральных значений $y$, при которых дробь является неправильной сократимой, это $\{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18\}$.

Ответ: $\{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18\}$.