Номер 69, страница 18, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

69 Сократи дроби:

a) $\frac{125}{75}$, $\frac{75}{100}$, $\frac{24}{360}$, $\frac{125}{1000}$, $\frac{42}{320}$;

б) $\frac{75}{300}$, $\frac{33}{243}$, $\frac{820}{41}$, $\frac{45}{900}$, $\frac{105}{1200}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{125}{75}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 125 и 75. Оба числа делятся на 25, так как $125 = 5 \cdot 25$ и $75 = 3 \cdot 25$. Следовательно, НОД(125, 75) = 25. Разделим числитель и знаменатель на 25.
$\frac{125}{75} = \frac{125 \div 25}{75 \div 25} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$

Чтобы сократить дробь $\frac{75}{100}$, найдем НОД(75, 100). Оба числа делятся на 25: $75 = 3 \cdot 25$ и $100 = 4 \cdot 25$. НОД(75, 100) = 25. Разделим числитель и знаменатель на 25.
$\frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

Чтобы сократить дробь $\frac{24}{360}$, можно заметить, что 360 делится на 24, так как $360 = 15 \cdot 24$. Значит, НОД(24, 360) = 24. Разделим числитель и знаменатель на 24.
$\frac{24}{360} = \frac{24 \div 24}{360 \div 24} = \frac{1}{15}$.
Ответ: $\frac{1}{15}$

Чтобы сократить дробь $\frac{125}{1000}$, заметим, что $1000 = 8 \cdot 125$. Значит, НОД(125, 1000) = 125. Разделим числитель и знаменатель на 125.
$\frac{125}{1000} = \frac{125 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

Чтобы сократить дробь $\frac{42}{320}$, найдем их НОД. Разложим числа на простые множители: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$; $320 = 32 \cdot 10 = 2^5 \cdot 2 \cdot 5 = 2^6 \cdot 5$. Единственный общий множитель — это 2. Значит, НОД(42, 320) = 2.
$\frac{42}{320} = \frac{42 \div 2}{320 \div 2} = \frac{21}{160}$.
Ответ: $\frac{21}{160}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{75}{300}$, заметим, что $300 = 4 \cdot 75$. НОД(75, 300) = 75. Разделим числитель и знаменатель на 75.
$\frac{75}{300} = \frac{75 \div 75}{300 \div 75} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

Чтобы сократить дробь $\frac{33}{243}$, найдем их НОД. $33 = 3 \cdot 11$. Сумма цифр числа 243 равна $2+4+3=9$, значит 243 делится на 3: $243 = 3 \cdot 81$. НОД(33, 243) = 3.
$\frac{33}{243} = \frac{33 \div 3}{243 \div 3} = \frac{11}{81}$.
Ответ: $\frac{11}{81}$

Чтобы сократить дробь $\frac{820}{41}$, заметим, что 41 — простое число. Проверим, делится ли 820 на 41. $820 = 82 \cdot 10 = (2 \cdot 41) \cdot 10 = 20 \cdot 41$. Дробь можно сократить на 41.
$\frac{820}{41} = \frac{20 \cdot 41}{41} = 20$.
Ответ: $20$

Чтобы сократить дробь $\frac{45}{900}$, заметим, что $900 = 20 \cdot 45$. НОД(45, 900) = 45.
$\frac{45}{900} = \frac{45 \div 45}{900 \div 45} = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$

Чтобы сократить дробь $\frac{105}{1200}$, найдем их НОД. Оба числа делятся на 5: $105 = 5 \cdot 21$, $1200 = 5 \cdot 240$. Получаем дробь $\frac{21}{240}$. Теперь сократим ее, разделив числитель и знаменатель на 3: $21 = 3 \cdot 7$, $240 = 3 \cdot 80$. Общий делитель был $5 \cdot 3 = 15$.
$\frac{105}{1200} = \frac{105 \div 15}{1200 \div 15} = \frac{7}{80}$.
Ответ: $\frac{7}{80}$