Номер 68, страница 18, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

68 1) Что означает выражение сократить дробь? Сформулируй определение несократимой дроби.

2) Какие возможны способы сокращения дробей? Сократи дробь $\frac{42}{720}$ тремя различными способами. Какой из них тебе понравился больше?

1) Выражение сократить дробь означает разделить ее числитель и знаменатель на их общий положительный делитель, не равный единице. Это действие основано на основном свойстве дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. В результате сокращения получается дробь, равная исходной, но с меньшими по модулю числителем и знаменателем.

Определение несократимой дроби: Дробь называется несократимой, если ее числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Такую дробь уже нельзя сократить.

Ответ: Сократить дробь — разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель. Несократимая дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

2) Существует несколько основных способов сокращения дробей:

• Постепенное (пошаговое) сокращение — последовательное деление числителя и знаменателя на их очевидные общие делители (например, на 2, 3, 5, 10), пока дробь не станет несократимой.
• Сокращение на наибольший общий делитель (НОД) — находится НОД числителя и знаменателя, и затем оба делятся на это число. Этот способ позволяет сократить дробь за один шаг.
• Разложение на простые множители — числитель и знаменатель раскладываются на простые множители, после чего одинаковые множители в числителе и знаменателе "сокращаются" (убираются).

Сократим дробь $\frac{42}{720}$ тремя различными способами.

Способ 1: Постепенное сокращение

Сначала заметим, что и числитель (42), и знаменатель (720) — четные числа, значит, их можно сократить на 2.

$\frac{42}{720} = \frac{42 \div 2}{720 \div 2} = \frac{21}{360}$

Теперь рассмотрим дробь $\frac{21}{360}$. Сумма цифр числителя $2+1=3$ (делится на 3), и сумма цифр знаменателя $3+6+0=9$ (делится на 3). Значит, оба числа делятся на 3.

$\frac{21}{360} = \frac{21 \div 3}{360 \div 3} = \frac{7}{120}$

Число 7 — простое. 120 на 7 без остатка не делится ($120 = 7 \cdot 17 + 1$). Следовательно, дробь $\frac{7}{120}$ является несократимой.

Способ 2: Сокращение на наибольший общий делитель (НОД)

Найдем НОД для чисел 42 и 720. Для этого разложим их на простые множители.

$42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

$720 = 72 \cdot 10 = (8 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5) = (2^3 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$

Чтобы найти НОД, возьмем общие простые множители в наименьшей степени: $2^1$ и $3^1$.

$\text{НОД}(42, 720) = 2 \cdot 3 = 6$

Теперь разделим числитель и знаменатель исходной дроби на их НОД, равный 6.

$\frac{42}{720} = \frac{42 \div 6}{720 \div 6} = \frac{7}{120}$

Способ 3: Разложение на простые множители

Разложим числитель и знаменатель на простые множители (мы это уже сделали во втором способе) и запишем дробь в таком виде.

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

$720 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

Теперь "сократим" (вычеркнем) одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{42}{720} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 7}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 7}{\cancel{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot 3 \cdot 5} = \frac{7}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{7}{120}$

Какой из них тебе понравился больше?

Выбор способа часто зависит от конкретных чисел. Однако наиболее наглядным и универсальным можно считать третий способ (разложение на простые множители). Он помогает лучше понять структуру чисел и увидеть все общие делители сразу, что гарантирует получение несократимой дроби и исключает возможность пропуска какого-либо делителя, как это может случиться при постепенном сокращении. Способ с НОД также очень эффективен и быстр, но он требует предварительного нахождения этого самого НОД.

Ответ: $\frac{42}{720} = \frac{7}{120}$.