Номер 67, страница 18, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

67 Можно ли дробь $ \frac{6}{15} $ заменить равной ей дробью:

а) с числителем 48, 31, 2, $6a$;

б) со знаменателем 60, 76, 5, $30b$?

Чтобы определить, можно ли заменить дробь $\frac{6}{15}$ на равную ей дробь с заданным числителем или знаменателем, сначала упростим исходную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.
НОД(6, 15) = 3.
Сократим дробь: $\frac{6}{15} = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$.
Следовательно, любая искомая дробь должна быть равна дроби $\frac{2}{5}$. Это означает, что новая дробь $\frac{a}{b}$ должна удовлетворять условию $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$.

а) с числителем 48, 31, 2, 6a;

Для числителя 48:
Нужно найти такой знаменатель $x$, чтобы $\frac{48}{x} = \frac{2}{5}$. Из основного свойства пропорции имеем $2 \cdot x = 48 \cdot 5$, откуда $2x = 240$ и $x = 120$. Так как знаменатель является целым числом, то замена возможна. Получается дробь $\frac{48}{120}$.
Ответ: можно.

Для числителя 31:
Нужно найти такой знаменатель $x$, чтобы $\frac{31}{x} = \frac{2}{5}$. Отсюда $2 \cdot x = 31 \cdot 5$, то есть $2x = 155$ и $x = 77.5$. Так как знаменатель не является целым числом, то (в рамках дробей с целыми числителем и знаменателем) такая замена невозможна.
Ответ: нельзя.

Для числителя 2:
Нужно найти такой знаменатель $x$, чтобы $\frac{2}{x} = \frac{2}{5}$. Очевидно, что $x=5$. Замена возможна, получается дробь $\frac{2}{5}$.
Ответ: можно.

Для числителя 6a:
Нужно найти такой знаменатель $x$, чтобы $\frac{6a}{x} = \frac{2}{5}$ (при $a \neq 0$). Отсюда $2 \cdot x = 6a \cdot 5$, то есть $2x = 30a$ и $x=15a$. Если $a$ — параметр, то знаменатель будет $15a$. Замена возможна. Например, при $a=1$ получаем исходную дробь $\frac{6}{15}$.
Ответ: можно.

б) со знаменателем 60, 76, 5, 30b?

Для знаменателя 60:
Нужно найти такой числитель $x$, чтобы $\frac{x}{60} = \frac{2}{5}$. Отсюда $5 \cdot x = 60 \cdot 2$, то есть $5x = 120$ и $x=24$. Так как числитель является целым числом, замена возможна. Получается дробь $\frac{24}{60}$.
Ответ: можно.

Для знаменателя 76:
Нужно найти такой числитель $x$, чтобы $\frac{x}{76} = \frac{2}{5}$. Отсюда $5 \cdot x = 76 \cdot 2$, то есть $5x = 152$ и $x=30.4$. Так как числитель не является целым числом, замена невозможна.
Ответ: нельзя.

Для знаменателя 5:
Нужно найти такой числитель $x$, чтобы $\frac{x}{5} = \frac{2}{5}$. Очевидно, что $x=2$. Замена возможна, получается дробь $\frac{2}{5}$.
Ответ: можно.

Для знаменателя 30b:
Нужно найти такой числитель $x$, чтобы $\frac{x}{30b} = \frac{2}{5}$ (при $b \neq 0$). Отсюда $5 \cdot x = 30b \cdot 2$, то есть $5x = 60b$ и $x=12b$. Если $b$ — параметр, то числитель будет $12b$. Замена возможна. Получается дробь $\frac{12b}{30b}$.
Ответ: можно.