Номер 72, страница 18, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

72 Объясни, почему несократимы дроби: $\frac{5}{49}$, $\frac{18}{193}$, $\frac{41}{67}$, $\frac{2007}{2008}$.

Дробь является несократимой, если её числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1, то есть являются взаимно простыми числами. Проверим каждую дробь.

$\frac{5}{49}$: Числитель дроби, число 5, является простым числом. Его делители — это только 1 и 5. Чтобы дробь была сократимой, знаменатель 49 должен делиться на 5. Однако число 49 не делится на 5 (признак делимости на 5 — число должно оканчиваться на 0 или 5). Следовательно, единственный общий делитель числителя и знаменателя — это 1.
Ответ: Дробь несократима, так как наибольший общий делитель чисел 5 и 49 равен 1.

$\frac{18}{193}$: Для сокращения этой дроби необходимо, чтобы числитель и знаменатель имели общий делитель больше 1. Разложим числитель 18 на простые множители: $18 = 2 \times 3^2$. Значит, любой делитель числа 18 (кроме 1) должен быть кратен 2 или 3. Проверим, делится ли знаменатель 193 на 2 или 3.

• Число 193 нечетное, поэтому оно не делится на 2.
• Сумма цифр числа 193 равна $1 + 9 + 3 = 13$. Так как 13 не делится на 3, то и число 193 не делится на 3.

Поскольку 193 не делится ни на 2, ни на 3, у чисел 18 и 193 нет общих простых делителей.
Ответ: Дробь несократима, так как её числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

$\frac{41}{67}$: Проверим числитель и знаменатель на простоту. Число 41 является простым, так как оно не делится на простые числа, меньшие $\sqrt{41} \approx 6.4$ (то есть 2, 3, 5). Число 67 также является простым, так как оно не делится на простые числа, меньшие $\sqrt{67} \approx 8.1$ (то есть 2, 3, 5, 7). Поскольку числитель и знаменатель являются двумя разными простыми числами, их единственный общий делитель — это 1.
Ответ: Дробь несократима, так как и числитель (41), и знаменатель (67) — простые числа.

$\frac{2007}{2008}$: Числитель 2007 и знаменатель 2008 — это два последовательных натуральных числа. Любые два последовательных натуральных числа ($n$ и $n+1$) всегда взаимно просты. Допустим, у них есть общий делитель $d > 1$. Тогда $n$ делится на $d$ и $n+1$ делится на $d$. В этом случае их разность $(n+1) - n = 1$ также должна делиться на $d$. Но единственное натуральное число, которое делит 1, — это 1. Значит, $d$ не может быть больше 1. Это доказывает, что их наибольший общий делитель равен 1.
Ответ: Дробь несократима, потому что её числитель и знаменатель являются последовательными натуральными числами, которые всегда взаимно просты.