Номер 76, страница 19, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

76 Какие из высказываний общие, а какие типа «хотя бы один»? Докажи или опровергни их.

1) Дробь, числитель и знаменатель которой кратны 3, сократима.

2) Все дроби, большие $ \frac{2}{3} $, сократимы.

3) Существует сократимая дробь, числитель и знаменатель которой — простые числа.

4) Всякая дробь при сокращении уменьшается.

5) Некоторые сократимые дроби равны $ \frac{1}{2} $.

6) Неправильная дробь после сокращения может стать правильной.

7) Дробь несократима тогда и только тогда, когда разность между её числителем и знаменателем равна 1.

1) Это общее высказывание, так как оно относится к любой дроби, удовлетворяющей указанному условию. Высказывание истинно.
Доказательство: Пусть дана дробь $\frac{a}{b}$. По условию, её числитель $a$ и знаменатель $b$ кратны 3. Это означает, что существуют целые числа $k$ и $m$ такие, что $a = 3k$ и $b = 3m$ (причем $m \neq 0$). Тогда дробь можно записать как $\frac{3k}{3m}$. Поскольку у числителя и знаменателя есть общий делитель 3, который больше 1, дробь является сократимой. Её можно сократить на 3, получив дробь $\frac{k}{m}$.

Ответ: Общее высказывание, истинно.

2) Это общее высказывание, так как оно начинается со слова «все». Высказывание ложно.
Опровержение: Чтобы опровергнуть общее высказывание, достаточно привести один контрпример. Рассмотрим дробь $\frac{3}{4}$. Сравним её с $\frac{2}{3}$. Приведя к общему знаменателю 12, получим $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ и $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$. Так как $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$, то $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$. Однако дробь $\frac{3}{4}$ является несократимой, так как наибольший общий делитель её числителя и знаменателя равен 1 (НОД(3, 4) = 1). Таким образом, найдена дробь, которая больше $\frac{2}{3}$, но при этом несократима.

Ответ: Общее высказывание, ложно.

3) Это высказывание типа «хотя бы один», так как оно начинается со слова «существует». Высказывание истинно.
Доказательство: Чтобы доказать высказывание о существовании, достаточно привести один пример. Простые числа — это числа, имеющие ровно два делителя: 1 и само себя (например, 2, 3, 5, 7, ...). Дробь является сократимой, если её числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Если в качестве числителя и знаменателя взять одно и то же простое число, например 5, то получим дробь $\frac{5}{5}$. Числитель (5) — простое число, знаменатель (5) — тоже простое число. У них есть общий делитель 5, который больше 1. Значит, дробь $\frac{5}{5}$ является сократимой.

Ответ: Высказывание типа «хотя бы один», истинно.

4) Это общее высказывание, так как оно начинается со слова «всякая». Высказывание ложно.
Опровержение: Сокращение дроби — это деление её числителя и знаменателя на их общий положительный делитель, отличный от 1. При сокращении значение дроби не изменяется. Например, сократим дробь $\frac{4}{6}$. Общий делитель числителя и знаменателя равен 2. $\frac{4}{6} = \frac{4:2}{6:2} = \frac{2}{3}$. Значение дроби не уменьшилось, а осталось прежним: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Уменьшаются сами числа в числителе и знаменателе, но не величина дроби.

Ответ: Общее высказывание, ложно.

5) Это высказывание типа «хотя бы один», так как оно начинается со слова «некоторые». Высказывание истинно.
Доказательство: Нужно найти хотя бы одну сократимую дробь, которая равна $\frac{1}{2}$. Для этого можно умножить числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{2}$ на любое целое число, большее 1. Например, умножим на 2: $\frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$. Дробь $\frac{2}{4}$ является сократимой (сокращается на 2) и её значение равно $\frac{1}{2}$. Другой пример: $\frac{3}{6}$.

Ответ: Высказывание типа «хотя бы один», истинно.

6) Это высказывание типа «хотя бы один», так как фраза «может стать» подразумевает существование хотя бы одного такого случая. Высказывание ложно.
Опровержение: Неправильная дробь — это дробь $\frac{a}{b}$, у которой числитель больше или равен знаменателю (для положительных $a, b$, $a \ge b$). Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя ($a < b$). При сокращении дроби её числитель и знаменатель делятся на одно и то же число $k > 1$. Если $a \ge b$, то после деления на $k$ мы получим $\frac{a}{k}$ и $\frac{b}{k}$. Так как $k > 0$, знак неравенства сохранится: $\frac{a}{k} \ge \frac{b}{k}$. Таким образом, неправильная дробь после сокращения остаётся неправильной (или становится целым числом, что также является частным случаем неправильной дроби).

Ответ: Высказывание типа «хотя бы один», ложно.

7) Это общее высказывание, так как оно устанавливает правило для всех дробей. Выражение «тогда и только тогда» означает, что утверждение должно быть верным в обе стороны. Высказывание ложно.
Опровержение: Разберем утверждение на две части.
Часть 1: «Если разность между числителем и знаменателем равна 1, то дробь несократима». Это утверждение истинно. Пусть дана дробь $\frac{a}{b}$ и $|a-b|=1$. Если предположить, что у $a$ и $b$ есть общий делитель $d > 1$, то $d$ должен делить и их разность, то есть $a-b$ или $b-a$. Но разность по модулю равна 1, а единственным натуральным делителем 1 является 1. Значит, $d=1$. Противоречие. Следовательно, дробь несократима.
Часть 2: «Если дробь несократима, то разность между её числителем и знаменателем равна 1». Это утверждение ложно. Контрпример: дробь $\frac{3}{5}$. Она несократима, так как НОД(3, 5) = 1. Однако разность между знаменателем и числителем равна $5-3=2$, что не равно 1.
Поскольку вторая часть общего утверждения ложна, всё высказывание «тогда и только тогда» является ложным.

Ответ: Общее высказывание, ложно.