Номер 82, страница 20, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

82 Докажи, что дробь несократима:

а) $\frac{39}{100}$;

б) $\frac{111}{2500}$;

в) $\frac{13013}{20480}$;

г) $\frac{25+49 \cdot 2}{35}$;

д) $\frac{38}{18 \cdot 8 - 19 \cdot 3}$

а) Чтобы доказать, что дробь $ \frac{39}{100} $ несократима, нужно показать, что её числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1. Для этого разложим их на простые множители.

Числитель: $ 39 = 3 \cdot 13 $. Простые делители числа 39: 3, 13.

Знаменатель: $ 100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2 $. Простые делители числа 100: 2, 5.

Так как у числителя (39) и знаменателя (100) нет общих простых множителей, их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Следовательно, дробь является несократимой.

Ответ: Дробь $ \frac{39}{100} $ несократима.

б) Рассмотрим дробь $ \frac{111}{2500} $. Разложим числитель и знаменатель на простые множители.

Числитель: $ 111 = 3 \cdot 37 $. Сумма цифр числа 111 равна $ 1+1+1=3 $, что делится на 3, поэтому и само число делится на 3. Простые делители числа 111: 3, 37.

Знаменатель: $ 2500 = 25 \cdot 100 = 5^2 \cdot 10^2 = 5^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^4 $. Простые делители числа 2500: 2, 5.

Общих простых делителей у числителя 111 и знаменателя 2500 нет. Это означает, что НОД(111, 2500) = 1, и дробь несократима.

Ответ: Дробь $ \frac{111}{2500} $ несократима.

в) Рассмотрим дробь $ \frac{13\;013}{20\;480} $. Разложим на простые множители числитель и знаменатель.

Числитель: $ 13\;013 = 13 \cdot 1001 = 13 \cdot 7 \cdot 143 = 13 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 7 \cdot 11 \cdot 13^2 $. Простые делители числа 13 013: 7, 11, 13.

Знаменатель: $ 20\;480 = 2048 \cdot 10 = 2^{11} \cdot (2 \cdot 5) = 2^{12} \cdot 5 $. Простые делители числа 20 480: 2, 5.

Так как у числителя и знаменателя нет общих простых делителей, их НОД равен 1, и дробь является несократимой.

Ответ: Дробь $ \frac{13\;013}{20\;480} $ несократима.

г) Сначала необходимо вычислить значение числителя дроби $ \frac{25 + 49 \cdot 2}{35} $.

Числитель: $ 25 + 49 \cdot 2 = 25 + 98 = 123 $.

Дробь принимает вид $ \frac{123}{35} $. Теперь проверим, является ли она несократимой, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

Числитель: $ 123 = 3 \cdot 41 $. Сумма цифр 1+2+3=6, значит, число делится на 3. Простые делители числа 123: 3, 41.

Знаменатель: $ 35 = 5 \cdot 7 $. Простые делители числа 35: 5, 7.

У числителя и знаменателя нет общих простых делителей, поэтому НОД(123, 35) = 1, и дробь несократима.

Ответ: Дробь $ \frac{25 + 49 \cdot 2}{35} $ несократима.

д) Сначала необходимо вычислить значение знаменателя дроби $ \frac{38}{18 \cdot 8 - 19 \cdot 3} $.

Знаменатель: $ 18 \cdot 8 - 19 \cdot 3 = 144 - 57 = 87 $.

Дробь принимает вид $ \frac{38}{87} $. Проверим, является ли она несократимой. Разложим на простые множители числитель и знаменатель.

Числитель: $ 38 = 2 \cdot 19 $. Простые делители числа 38: 2, 19.

Знаменатель: $ 87 = 3 \cdot 29 $. Сумма цифр 8+7=15, значит, число делится на 3. Простые делители числа 87: 3, 29.

Так как у чисел 38 и 87 нет общих простых делителей, их НОД равен 1, и дробь несократима.

Ответ: Дробь $ \frac{38}{18 \cdot 8 - 19 \cdot 3} $ несократима.