Номер 71, страница 18, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

71 Докажи, что сократимы дроби:

а) $ \frac{360}{945} $, $ \frac{624}{768} $, $ \frac{3950}{350} $

б) $ \frac{1260}{1980} $, $ \frac{5184}{5472} $, $ \frac{4140}{9315} $

Сократи их, разложив сначала числитель и знаменатель на множители.

Чтобы доказать, что дробь сократима, достаточно показать, что её числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от единицы. Сократим дроби, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

а)

Дробь $\frac{360}{945}$.
Доказательство сократимости: Числитель 360 оканчивается на 0, а знаменатель 945 — на 5. Оба числа делятся на 5, следовательно, дробь сократима.
Сокращение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$360 = 2 \cdot 180 = 2^2 \cdot 90 = 2^3 \cdot 45 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$
$945 = 5 \cdot 189 = 5 \cdot 3 \cdot 63 = 5 \cdot 3^2 \cdot 21 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$
$\frac{360}{945} = \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5}{3^3 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{2^3}{3 \cdot 7} = \frac{8}{21}$
Ответ: $\frac{8}{21}$.

Дробь $\frac{624}{768}$.
Доказательство сократимости: Числитель 624 и знаменатель 768 являются четными числами, так как оканчиваются на 4 и 8. Оба числа делятся на 2, следовательно, дробь сократима.
Сокращение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$624 = 2 \cdot 312 = 2^2 \cdot 156 = 2^3 \cdot 78 = 2^4 \cdot 39 = 2^4 \cdot 3 \cdot 13$
$768 = 2 \cdot 384 = 2^2 \cdot 192 = 2^3 \cdot 96 = 2^4 \cdot 48 = 2^5 \cdot 24 = 2^6 \cdot 12 = 2^7 \cdot 6 = 2^8 \cdot 3$
$\frac{624}{768} = \frac{2^4 \cdot 3 \cdot 13}{2^8 \cdot 3} = \frac{13}{2^4} = \frac{13}{16}$
Ответ: $\frac{13}{16}$.

Дробь $\frac{3950}{350}$.
Доказательство сократимости: Числитель 3950 и знаменатель 350 оканчиваются на 0. Оба числа делятся на 10, следовательно, дробь сократима.
Сокращение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$3950 = 10 \cdot 395 = (2 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 79) = 2 \cdot 5^2 \cdot 79$
$350 = 10 \cdot 35 = (2 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 7) = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$
$\frac{3950}{350} = \frac{2 \cdot 5^2 \cdot 79}{2 \cdot 5^2 \cdot 7} = \frac{79}{7}$
Ответ: $\frac{79}{7}$.

б)

Дробь $\frac{1260}{1980}$.
Доказательство сократимости: Числитель 1260 и знаменатель 1980 оканчиваются на 0. Оба числа делятся на 10, следовательно, дробь сократима.
Сокращение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$1260 = 10 \cdot 126 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 63) = 2^2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$
$1980 = 10 \cdot 198 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 99) = 2^2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$
$\frac{1260}{1980} = \frac{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11} = \frac{7}{11}$
Ответ: $\frac{7}{11}$.

Дробь $\frac{5184}{5472}$.
Доказательство сократимости: Числитель 5184 и знаменатель 5472 являются четными числами. Оба числа делятся на 2, следовательно, дробь сократима.
Сокращение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$5184 = 2^6 \cdot 3^4 = 64 \cdot 81$
$5472 = 2 \cdot 2736 = 2^2 \cdot 1368 = 2^3 \cdot 684 = 2^4 \cdot 342 = 2^5 \cdot 171 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 19$
$\frac{5184}{5472} = \frac{2^6 \cdot 3^4}{2^5 \cdot 3^2 \cdot 19} = \frac{2 \cdot 3^2}{19} = \frac{18}{19}$
Ответ: $\frac{18}{19}$.

Дробь $\frac{4140}{9315}$.
Доказательство сократимости: Числитель 4140 оканчивается на 0, а знаменатель 9315 — на 5. Оба числа делятся на 5, следовательно, дробь сократима.
Сокращение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$4140 = 10 \cdot 414 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 207) = 2^2 \cdot 5 \cdot (9 \cdot 23) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 23$
$9315 = 5 \cdot 1863 = 5 \cdot 9 \cdot 207 = 5 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 23 = 3^4 \cdot 5 \cdot 23$
$\frac{4140}{9315} = \frac{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 23}{3^4 \cdot 5 \cdot 23} = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$.