Номер 61, страница 17, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

61 Докажи истинность высказываний:

a) $\frac{7}{15} = \frac{42}{90};$

б) $\frac{80}{35} = \frac{16}{7};$

в) $\frac{7}{12} = \frac{56}{96};$

г) $\frac{42}{140} = \frac{3}{10}.$

а)

Для доказательства истинности равенства $ \frac{7}{15} = \frac{42}{90} $ воспользуемся основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Проверим, можно ли получить дробь $ \frac{42}{90} $ из дроби $ \frac{7}{15} $ путем умножения на одно и то же число. Найдем это число: $ 42 \div 7 = 6 $. Теперь проверим знаменатель: $ 15 \cdot 6 = 90 $. Так как и числитель, и знаменатель были умножены на 6, дроби равны.

$ \frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{42}{90} $

Равенство $ \frac{42}{90} = \frac{42}{90} $ является верным, следовательно, исходное высказывание истинно. Также можно было сократить правую дробь на 6.

Ответ: Высказывание истинно.

б)

Чтобы доказать истинность высказывания $ \frac{80}{35} = \frac{16}{7} $, сократим дробь в левой части равенства. Для этого найдем общий делитель для числителя 80 и знаменателя 35. Оба числа оканчиваются на 0 или 5, следовательно, они делятся на 5.

Выполним сокращение дроби $ \frac{80}{35} $ на 5:

$ \frac{80}{35} = \frac{80 \div 5}{35 \div 5} = \frac{16}{7} $

В результате мы получили равенство $ \frac{16}{7} = \frac{16}{7} $, что подтверждает истинность исходного высказывания.

Ответ: Высказывание истинно.

в)

Докажем истинность высказывания $ \frac{7}{12} = \frac{56}{96} $. Для этого сократим правую дробь. Найдем число, на которое можно разделить числитель 56 и знаменатель 96. Заметим, что $ 56 = 7 \cdot 8 $. Проверим, делится ли 96 на 8: $ 96 \div 8 = 12 $. Следовательно, дробь $ \frac{56}{96} $ можно сократить на 8.

Выполним сокращение:

$ \frac{56}{96} = \frac{56 \div 8}{96 \div 8} = \frac{7}{12} $

Полученное равенство $ \frac{7}{12} = \frac{7}{12} $ доказывает, что исходное высказывание истинно.

Ответ: Высказывание истинно.

г)

Для доказательства истинности высказывания $ \frac{42}{140} = \frac{3}{10} $ сократим левую дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 42 и 140. Разложим их на простые множители: $ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 $ и $ 140 = 10 \cdot 14 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 7) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 $. Общими множителями являются 2 и 7, значит НОД(42, 140) = $ 2 \cdot 7 = 14 $.

Разделим числитель и знаменатель дроби $ \frac{42}{140} $ на 14:

$ \frac{42}{140} = \frac{42 \div 14}{140 \div 14} = \frac{3}{10} $

В результате мы получили верное равенство $ \frac{3}{10} = \frac{3}{10} $, что и доказывает истинность исходного высказывания.

Ответ: Высказывание истинно.