Номер 96, страница 21, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

П 96 Прочитай утверждения. Какие из них истинные, а какие — ложные?

Обоснуй.

1) $\exists x \in \mathbb{N}: 4 \le x < 5;$

2) $\exists y \in \mathbb{N}: y < 1;$

3) $\exists m, n \in \mathbb{N}: m^2 + n^2 = 25;$

4) $\exists k \in \mathbb{N}:$ k имеет ровно два различных делителя.

1) $ \exists x \in N: 4 \le x < 5 $

Данное утверждение читается как: «Существует такое натуральное число $x$, которое больше или равно 4 и меньше 5».

Множество натуральных чисел $N$ — это множество целых положительных чисел: $\{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$.

В промежутке $[4, 5)$ единственным целым числом является 4. Так как 4 — это натуральное число, то такое число $x$ существует.

Следовательно, утверждение истинно.
Ответ: истинно.

2) $ \exists y \in N: y < 1 $

Данное утверждение читается как: «Существует такое натуральное число $y$, которое меньше 1».

Как было указано выше, множество натуральных чисел $N$ начинается с 1. Наименьшее натуральное число — это 1. Чисел, которые одновременно являются натуральными и меньше 1, не существует.

Следовательно, утверждение ложно.
Ответ: ложно.

3) $ \exists m, n \in N: m^2 + n^2 = 25 $

Данное утверждение читается как: «Существуют такие натуральные числа $m$ и $n$, что сумма их квадратов равна 25».

Нужно проверить, есть ли у уравнения $m^2 + n^2 = 25$ решения в натуральных числах. Можно осуществить подбор, перебирая возможные значения для $m$ из множества $N$.

• Если $m=1$, то $1^2 + n^2 = 25 \implies n^2 = 24$. $n = \sqrt{24}$, не является натуральным числом.
• Если $m=2$, то $2^2 + n^2 = 25 \implies n^2 = 21$. $n = \sqrt{21}$, не является натуральным числом.
• Если $m=3$, то $3^2 + n^2 = 25 \implies 9 + n^2 = 25 \implies n^2 = 16$. $n = 4$. Число 4 является натуральным.

Мы нашли пару натуральных чисел $m=3$ и $n=4$, которые удовлетворяют условию. Проверка: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Следовательно, утверждение истинно.
Ответ: истинно.

4) $ \exists k \in N: k $ имеет ровно два различных делителя.

Данное утверждение читается как: «Существует такое натуральное число $k$, которое имеет ровно два различных делителя».

По определению, натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя (единицу и само себя), называется простым числом.

Нам нужно лишь найти хотя бы один пример такого числа. Любое простое число подойдет.

Например, возьмем число $k=2$. Его делители — это 1 и 2. Их ровно два, и они различны.

Другой пример: $k=3$. Его делители — 1 и 3.

Поскольку такие числа существуют, утверждение истинно.
Ответ: истинно.