Номер 92, страница 21, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

92 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями и приведи их

к наименьшему общему знаменателю:

1) $\frac{3a - ab}{ax}$ и $\frac{8c + 4c}{6cd}$;

2) $\frac{5n + n^2}{3n}$ и $\frac{4a^2 - 2a^2}{6ay}$;

3) $\frac{7(y + 2k)}{(y + 2k)bc}$ и $\frac{k^2 - ky}{5bk}$.

1) Рассматриваем дроби $\frac{3a - ab}{ax}$ и $\frac{8c + 4c}{6cd}$.

Сначала необходимо сократить каждую дробь. Для этого разложим числители и знаменатели на множители и сократим общие.

Первая дробь: вынесем в числителе общий множитель $a$ за скобки.

$\frac{3a - ab}{ax} = \frac{a(3 - b)}{ax} = \frac{3 - b}{x}$

Вторая дробь: выполним сложение в числителе и сократим дробь на общие множители $6$ и $c$.

$\frac{8c + 4c}{6cd} = \frac{12c}{6cd} = \frac{2}{d}$

Теперь нужно привести полученные дроби $\frac{3 - b}{x}$ и $\frac{2}{d}$ к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

Знаменатели дробей $x$ и $d$ не имеют общих множителей, поэтому НОЗ равен их произведению: $xd$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $d$:

$\frac{3 - b}{x} = \frac{(3 - b) \cdot d}{x \cdot d} = \frac{3d - bd}{xd}$

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $x$:

$\frac{2}{d} = \frac{2 \cdot x}{d \cdot x} = \frac{2x}{xd}$

Ответ: $\frac{3d - bd}{xd}$ и $\frac{2x}{xd}$.

2) Рассматриваем дроби $\frac{5n + n^2}{3n}$ и $\frac{4a^2 - 2a^2}{6ay}$.

Сначала сократим каждую дробь.

Первая дробь: вынесем в числителе общий множитель $n$ за скобки и сократим его.

$\frac{5n + n^2}{3n} = \frac{n(5 + n)}{3n} = \frac{5 + n}{3}$

Вторая дробь: выполним вычитание в числителе и сократим дробь на общие множители $2$ и $a$.

$\frac{4a^2 - 2a^2}{6ay} = \frac{2a^2}{6ay} = \frac{a}{3y}$

Теперь приведем дроби $\frac{5 + n}{3}$ и $\frac{a}{3y}$ к наименьшему общему знаменателю.

НОЗ для знаменателей $3$ и $3y$ равен $3y$.

Вторая дробь $\frac{a}{3y}$ уже имеет требуемый знаменатель. Для первой дроби дополнительным множителем является $y$.

$\frac{5 + n}{3} = \frac{(5 + n) \cdot y}{3 \cdot y} = \frac{5y + ny}{3y}$

Ответ: $\frac{5y + ny}{3y}$ и $\frac{a}{3y}$.

3) Рассматриваем дроби $\frac{7(y + 2k)}{(y + 2k)bc}$ и $\frac{k^2 - ky}{5bk}$.

Сначала сократим каждую дробь.

Первая дробь: сократим на общий множитель $(y + 2k)$.

$\frac{7(y + 2k)}{(y + 2k)bc} = \frac{7}{bc}$

Вторая дробь: вынесем в числителе общий множитель $k$ и сократим на него.

$\frac{k^2 - ky}{5bk} = \frac{k(k - y)}{5bk} = \frac{k - y}{5b}$

Теперь приведем дроби $\frac{7}{bc}$ и $\frac{k - y}{5b}$ к наименьшему общему знаменателю.

НОЗ для знаменателей $bc$ и $5b$ равен $5bc$.

Домножим первую дробь на дополнительный множитель $5$.

$\frac{7}{bc} = \frac{7 \cdot 5}{bc \cdot 5} = \frac{35}{5bc}$

Домножим вторую дробь на дополнительный множитель $c$.

$\frac{k - y}{5b} = \frac{(k - y) \cdot c}{5b \cdot c} = \frac{kc - yc}{5bc}$

Ответ: $\frac{35}{5bc}$ и $\frac{kc - yc}{5bc}$.