Номер 97, страница 21, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

97 Найди $НОД$ и $НОК$ чисел:

1) 15, 20 и 75;

2) 150, 180 и 315.

1) Для нахождения Наибольшего Общего Делителя (НОД) и Наименьшего Общего Кратного (НОК) чисел 15, 20 и 75, необходимо разложить их на простые множители.

Разложение на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$20 = 2 \cdot 10 = 2^2 \cdot 5$

$75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$

Чтобы найти НОД, нужно взять произведение общих для всех чисел простых множителей в их наименьшей степени. Единственный общий простой множитель для чисел 15, 20 и 75 — это 5. Наименьшая степень, в которой он встречается, — первая ($5^1$).

НОД(15, 20, 75) = $5$.

Чтобы найти НОК, нужно взять произведение всех простых множителей, которые встречаются в разложениях, в их наибольшей степени.

НОК(15, 20, 75) = $2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$.

Ответ: НОД = 5, НОК = 300.

2) Аналогично найдем НОД и НОК для чисел 150, 180 и 315. Сначала разложим их на простые множители.

Разложение на простые множители:

$150 = 10 \cdot 15 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

$180 = 10 \cdot 18 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 9) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$

$315 = 5 \cdot 63 = 5 \cdot 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$

Для нахождения НОД возьмем общие простые множители в наименьшей степени. Общими множителями являются 3 и 5. Наименьшая степень для 3 — первая ($3^1$), для 5 — также первая ($5^1$).

НОД(150, 180, 315) = $3^1 \cdot 5^1 = 15$.

Для нахождения НОК возьмем все простые множители в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях.

НОК(150, 180, 315) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = (4 \cdot 25) \cdot (9 \cdot 7) = 100 \cdot 63 = 6300$.

Ответ: НОД = 15, НОК = 6300.