Номер 108, страница 23, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

108 Переменная $x$ принимает значения из множества $\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$. Зависимость $y$ от $x$ задаётся формулой: 1) $y = \frac{2x}{x+3}$; 2) $y = \frac{x+5}{3x}$. Найди множество значений переменной $y$ и обозначь его А. Выпиши из множества А подмножество В правильных дробей.

1)

Дана зависимость $y = \frac{2x}{x+3}$ и множество значений $x \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Найдем множество значений $A$ переменной $y$, подставляя в формулу каждое значение $x$:

При $x=1$, $y = \frac{2 \cdot 1}{1+3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
При $x=2$, $y = \frac{2 \cdot 2}{2+3} = \frac{4}{5}$.
При $x=3$, $y = \frac{2 \cdot 3}{3+3} = \frac{6}{6} = 1$.
При $x=4$, $y = \frac{2 \cdot 4}{4+3} = \frac{8}{7}$.
При $x=5$, $y = \frac{2 \cdot 5}{5+3} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
При $x=6$, $y = \frac{2 \cdot 6}{6+3} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.

Таким образом, множество значений переменной $y$ есть $A = \{ \frac{1}{2}; \frac{4}{5}; 1; \frac{8}{7}; \frac{5}{4}; \frac{4}{3} \}$.

Теперь из множества $A$ выпишем подмножество $B$ правильных дробей. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя (для положительных дробей).

$\frac{1}{2}$ — правильная, так как $1 < 2$.
$\frac{4}{5}$ — правильная, так как $4 < 5$.
$1 = \frac{1}{1}$ — неправильная, так как числитель не меньше знаменателя.
$\frac{8}{7}$ — неправильная, так как $8 > 7$.
$\frac{5}{4}$ — неправильная, так как $5 > 4$.
$\frac{4}{3}$ — неправильная, так как $4 > 3$.

Следовательно, подмножество $B$ состоит из элементов $\{ \frac{1}{2}; \frac{4}{5} \}$.

Ответ: $A = \{ \frac{1}{2}; \frac{4}{5}; 1; \frac{8}{7}; \frac{5}{4}; \frac{4}{3} \}$, $B = \{ \frac{1}{2}; \frac{4}{5} \}$.

2)

Дана зависимость $y = \frac{x+5}{3x}$ и множество значений $x \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Найдем множество значений $A$ переменной $y$, подставляя в формулу каждое значение $x$:

При $x=1$, $y = \frac{1+5}{3 \cdot 1} = \frac{6}{3} = 2$.
При $x=2$, $y = \frac{2+5}{3 \cdot 2} = \frac{7}{6}$.
При $x=3$, $y = \frac{3+5}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9}$.
При $x=4$, $y = \frac{4+5}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
При $x=5$, $y = \frac{5+5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
При $x=6$, $y = \frac{6+5}{3 \cdot 6} = \frac{11}{18}$.

Таким образом, множество значений переменной $y$ есть $A = \{ 2; \frac{7}{6}; \frac{8}{9}; \frac{3}{4}; \frac{2}{3}; \frac{11}{18} \}$.

Теперь из множества $A$ выпишем подмножество $B$ правильных дробей.

$2 = \frac{2}{1}$ — неправильная, так как $2 > 1$.
$\frac{7}{6}$ — неправильная, так как $7 > 6$.
$\frac{8}{9}$ — правильная, так как $8 < 9$.
$\frac{3}{4}$ — правильная, так как $3 < 4$.
$\frac{2}{3}$ — правильная, так как $2 < 3$.
$\frac{11}{18}$ — правильная, так как $11 < 18$.

Следовательно, подмножество $B$ состоит из элементов $\{ \frac{8}{9}; \frac{3}{4}; \frac{2}{3}; \frac{11}{18} \}$.

Ответ: $A = \{ 2; \frac{7}{6}; \frac{8}{9}; \frac{3}{4}; \frac{2}{3}; \frac{11}{18} \}$, $B = \{ \frac{8}{9}; \frac{3}{4}; \frac{2}{3}; \frac{11}{18} \}$.