Номер 136, страница 31, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

136 Сравни дроби, приводя их к наименьшему общему знаменателю:

а) $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{9}$;

б) $\frac{11}{18}$ и $\frac{8}{15}$;

в) $\frac{10}{27}$ и $\frac{7}{24}$;

г) $\frac{25}{56}$ и $\frac{23}{48}$.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{9}$, необходимо привести их к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12 и 9. Разложим знаменатели на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$; $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$. НОК(12, 9) будет произведением всех простых множителей, взятых в наибольшей степени: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$. Итак, НОЗ равен 36.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для $\frac{7}{12}$ это $36 : 12 = 3$; для $\frac{5}{9}$ это $36 : 9 = 4$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$

$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{20}{36}$

Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями. Так как $21 > 20$, то $\frac{21}{36} > \frac{20}{36}$.

Следовательно, $\frac{7}{12} > \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{12} > \frac{5}{9}$.

б) Сравним дроби $\frac{11}{18}$ и $\frac{8}{15}$. Найдем НОЗ для 18 и 15. Разложим знаменатели на простые множители: $18 = 2 \cdot 3^2$; $15 = 3 \cdot 5$. НОК(18, 15) = $2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$. НОЗ равен 90.

Дополнительный множитель для $\frac{11}{18}$ равен $90 : 18 = 5$.

Дополнительный множитель для $\frac{8}{15}$ равен $90 : 15 = 6$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{55}{90}$

$\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{48}{90}$

Сравниваем полученные дроби: так как $55 > 48$, то $\frac{55}{90} > \frac{48}{90}$.

Значит, $\frac{11}{18} > \frac{8}{15}$.

Ответ: $\frac{11}{18} > \frac{8}{15}$.

в) Сравним дроби $\frac{10}{27}$ и $\frac{7}{24}$. Найдем НОЗ для 27 и 24. Разложим знаменатели на простые множители: $27 = 3^3$; $24 = 2^3 \cdot 3$. НОК(27, 24) = $2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$. НОЗ равен 216.

Дополнительный множитель для $\frac{10}{27}$ равен $216 : 27 = 8$.

Дополнительный множитель для $\frac{7}{24}$ равен $216 : 24 = 9$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{10}{27} = \frac{10 \cdot 8}{27 \cdot 8} = \frac{80}{216}$

$\frac{7}{24} = \frac{7 \cdot 9}{24 \cdot 9} = \frac{63}{216}$

Сравниваем: так как $80 > 63$, то $\frac{80}{216} > \frac{63}{216}$.

Следовательно, $\frac{10}{27} > \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{10}{27} > \frac{7}{24}$.

г) Сравним дроби $\frac{25}{56}$ и $\frac{23}{48}$. Найдем НОЗ для 56 и 48. Разложим знаменатели на простые множители: $56 = 2^3 \cdot 7$; $48 = 2^4 \cdot 3$. НОК(56, 48) = $2^4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 \cdot 21 = 336$. НОЗ равен 336.

Дополнительный множитель для $\frac{25}{56}$ равен $336 : 56 = 6$.

Дополнительный множитель для $\frac{23}{48}$ равен $336 : 48 = 7$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{25}{56} = \frac{25 \cdot 6}{56 \cdot 6} = \frac{150}{336}$

$\frac{23}{48} = \frac{23 \cdot 7}{48 \cdot 7} = \frac{161}{336}$

Сравниваем: так как $150 < 161$, то $\frac{150}{336} < \frac{161}{336}$.

Значит, $\frac{25}{56} < \frac{23}{48}$.

Ответ: $\frac{25}{56} < \frac{23}{48}$.