Номер 138, страница 31, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

138 Существует ли число, расположенное между числами:

а) $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{4}{5} $;

б) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{3}{7} $;

в) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{3} $;

г) $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{4}{7} $?

а)

Да, существует. У дробей $\frac{1}{5}$ и $\frac{4}{5}$ одинаковые знаменатели. Сравним их числители: 1 и 4. Поскольку между числителями 1 и 4 есть целые числа (например, 2 и 3), то между данными дробями существуют другие числа. Например, число $\frac{2}{5}$ больше, чем $\frac{1}{5}$, но меньше, чем $\frac{4}{5}$. Таким образом, выполняется неравенство: $\frac{1}{5} < \frac{2}{5} < \frac{4}{5}$.
Ответ: да, существует, например, $\frac{2}{5}$.

б)

Да, существует. Сначала сравним данные дроби, приведя их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 7 это 28. Получаем: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28}$ и $\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{12}{28}$. Теперь задача сводится к поиску числа между $\frac{12}{28}$ и $\frac{21}{28}$. Мы видим, что между числителями 12 и 21 есть много целых чисел, например, 13, 14, 15 и так далее. Возьмем, к примеру, число $\frac{15}{28}$. Так как $12 < 15 < 21$, то выполняется неравенство $\frac{12}{28} < \frac{15}{28} < \frac{21}{28}$, а значит $\frac{3}{7} < \frac{15}{28} < \frac{3}{4}$.
Ответ: да, существует, например, $\frac{15}{28}$.

в)

Да, существует. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 это 6. Получаем: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ и $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Мы ищем число между $\frac{2}{6}$ и $\frac{3}{6}$. Между числителями 2 и 3 нет целого числа, поэтому увеличим знаменатель. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 2: $\frac{2}{6} = \frac{4}{12}$ и $\frac{3}{6} = \frac{6}{12}$. Теперь мы ищем число между $\frac{4}{12}$ и $\frac{6}{12}$. Между числителями 4 и 6 находится число 5. Следовательно, дробь $\frac{5}{12}$ расположена между исходными числами: $\frac{1}{3} < \frac{5}{12} < \frac{1}{2}$.
Ответ: да, существует, например, $\frac{5}{12}$.

г)

Да, существует. У данных дробей одинаковый знаменатель, но их числители 3 и 4 являются последовательными целыми числами. Чтобы найти число между ними, представим их с большим знаменателем. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби, например, на 2: $\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$ и $\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{8}{14}$. Теперь мы ищем число между $\frac{6}{14}$ и $\frac{8}{14}$. Между числителями 6 и 8 есть целое число 7. Следовательно, дробь $\frac{7}{14}$ находится между исходными дробями. Сократив дробь $\frac{7}{14}$, получаем $\frac{1}{2}$. Таким образом, $\frac{3}{7} < \frac{1}{2} < \frac{4}{7}$.
Ответ: да, существует, например, $\frac{1}{2}$.