Номер 157, страница 33, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

157 Прочитай высказывания. Найди и опровергни ложные высказывания. Докажи истинность остальных высказываний.

1) $\exists x \in N: x < \frac{1}{2};$

2) $\exists y \in N: y > \frac{1}{2};$

3) $\exists a, b \in N: a^2 - b^2 = 7;$

4) $\exists a, b \in N: (a - b)^2 = 7.$

1) $∃ x ∈ N: x < \frac{1}{2}$

Это высказывание является ложным.

Опровержение: Множество натуральных чисел $N$ — это множество целых положительных чисел: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Наименьшее число в этом множестве — это 1. Сравним его с $\frac{1}{2}$: $1 > \frac{1}{2}$. Так как любое натуральное число $x$ не меньше 1 ($x \ge 1$), то любое натуральное число будет больше, чем $\frac{1}{2}$. Следовательно, не существует натурального числа $x$, которое удовлетворяло бы условию $x < \frac{1}{2}$.

Ответ: высказывание ложно.

2) $∃ y ∈ N: y > \frac{1}{2}$

Это высказывание является истинным.

Доказательство: Для доказательства истинности этого высказывания достаточно привести один пример натурального числа $y$, для которого выполняется неравенство $y > \frac{1}{2}$. Возьмем, к примеру, $y = 1$. Число 1 является натуральным. Проверим неравенство: $1 > \frac{1}{2}$. Это верное утверждение, поскольку 1 можно представить как $\frac{2}{2}$, а $\frac{2}{2} > \frac{1}{2}$. Так как мы нашли пример, подтверждающий высказывание, оно является истинным.

Ответ: высказывание истинно.

3) $∃ a, b ∈ N: a^2 - b^2 = 7$

Это высказывание является истинным.

Доказательство: Необходимо найти пару натуральных чисел $a$ и $b$, которые удовлетворяют данному уравнению. Воспользуемся формулой разности квадратов, чтобы преобразовать левую часть уравнения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Получаем уравнение $(a - b)(a + b) = 7$.

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, их сумма $(a + b)$ также является натуральным числом, причем $a+b \ge 1+1=2$. Их разность $(a-b)$ является целым числом. Число 7 является простым, поэтому его можно представить в виде произведения двух целых чисел только как $1 \cdot 7$ или $(-1) \cdot (-7)$. Так как $a+b$ — положительное число и $a+b \ge 2$, то единственно возможный вариант — это когда один множитель равен 7, а другой 1. Учитывая, что $a+b > a-b$, получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a + b = 7 \\ a - b = 1 \end{cases} $

Сложив оба уравнения, получим: $2a = 8$, откуда $a = 4$. Подставив значение $a$ в первое уравнение, найдем $b$: $4 + b = 7$, откуда $b = 3$.

Мы нашли пару чисел: $a=4$ и $b=3$. Оба числа являются натуральными. Проверим, удовлетворяют ли они исходному уравнению: $4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$. Равенство выполняется. Таким образом, мы доказали, что высказывание истинно.

Ответ: высказывание истинно.

4) $∃ a, b ∈ N: (a - b)^2 = 7$

Это высказывание является ложным.

Опровержение: Предположим, что такие натуральные числа $a$ и $b$ существуют. Разность двух натуральных чисел $a-b$ является целым числом. Обозначим эту разность как $k$, где $k \in Z$. Тогда уравнение принимает вид $k^2 = 7$.

Из этого следует, что $k$ должно быть равно $\sqrt{7}$ или $-\sqrt{7}$. Однако число $\sqrt{7}$ является иррациональным (его значение приблизительно 2,645...), а не целым. Не существует целого числа, квадрат которого равен 7.

Это приводит к противоречию, так как $k$ должно быть целым числом. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и не существует таких натуральных чисел $a$ и $b$, которые удовлетворяли бы данному условию.

Ответ: высказывание ложно.