Номер 160, страница 34, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

160 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $ \frac{70}{105} $;

в) $ \frac{3 \cdot 14 \cdot 62}{31 \cdot 10 \cdot 27} $;

д) $ \frac{8xyz}{24yz} $;

ж) $ \frac{n^2 + 2n}{12n} $;

б) $ \frac{750}{1200} $;

г) $ \frac{56 \cdot 15 \cdot 38}{75 \cdot 16 \cdot 57} $;

е) $ \frac{30a^2}{12ab} $;

з) $ \frac{6a - 6b}{12} $.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{70}{105}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя 70 и знаменателя 105. Для этого разложим оба числа на простые множители.

$70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

Общими множителями являются 5 и 7. Следовательно, НОД(70, 105) = $5 \cdot 7 = 35$.

Теперь разделим числитель и знаменатель на их НОД:

$\frac{70}{105} = \frac{70 \div 35}{105 \div 35} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{750}{1200}$, можно последовательно сокращать на общие множители. Сначала сократим дробь на 10, убрав по одному нулю в числителе и знаменателе.

$\frac{750}{1200} = \frac{75}{120}$

Числитель 75 и знаменатель 120 оканчиваются на 5 и 0, значит, они делятся на 5:

$\frac{75}{120} = \frac{75 \div 5}{120 \div 5} = \frac{15}{24}$

Числа 15 и 24 имеют общий делитель 3:

$\frac{15}{24} = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$

Ответ: $\frac{5}{8}$.

в)

Рассмотрим дробь $\frac{3 \cdot 14 \cdot 62}{31 \cdot 10 \cdot 27}$. Чтобы ее сократить, найдем и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе.

Заметим, что $62 = 2 \cdot 31$, $14 = 2 \cdot 7$, $10 = 2 \cdot 5$, $27 = 3 \cdot 9$.

$\frac{3 \cdot 14 \cdot 62}{31 \cdot 10 \cdot 27} = \frac{3 \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 31)}{31 \cdot (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9)}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе: 3, 2 и 31.

$\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 7 \cdot 2 \cdot \cancel{31}}{\cancel{31} \cdot \cancel{2} \cdot 5 \cdot \cancel{3} \cdot 9} = \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 9} = \frac{14}{45}$

Ответ: $\frac{14}{45}$.

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{56 \cdot 15 \cdot 38}{75 \cdot 16 \cdot 57}$, будем сокращать множители числителя и знаменателя попарно.

Сократим 56 и 16. Их НОД равен 8. $\frac{56}{16} = \frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{7}{2}$.

Сократим 15 и 75. Их НОД равен 15. $\frac{15}{75} = \frac{15}{5 \cdot 15} = \frac{1}{5}$.

Сократим 38 и 57. Их НОД равен 19. $\frac{38}{57} = \frac{2 \cdot 19}{3 \cdot 19} = \frac{2}{3}$.

Исходное выражение равно произведению этих дробей:

$\frac{56}{16} \cdot \frac{15}{75} \cdot \frac{38}{57} = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 5 \cdot 3}$

Сократим 2 в числителе и знаменателе: $\frac{7 \cdot 1 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 5 \cdot 3} = \frac{7}{15}$

Ответ: $\frac{7}{15}$.

д)

Для сокращения дроби $\frac{8xyz}{24yz}$ с переменными, сократим отдельно числовые коэффициенты и одинаковые переменные в числителе и знаменателе.

Сократим числовые коэффициенты: $\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

Сократим переменные. В числителе и знаменателе есть общие множители $y$ и $z$, которые мы можем сократить.

$\frac{8xyz}{24yz} = \frac{8}{24} \cdot \frac{x \cdot y \cdot z}{y \cdot z} = \frac{1}{3} \cdot x \cdot \frac{\cancel{y}}{\cancel{y}} \cdot \frac{\cancel{z}}{\cancel{z}} = \frac{1}{3} \cdot x = \frac{x}{3}$

Это сокращение возможно при условии, что $y \neq 0$ и $z \neq 0$.

Ответ: $\frac{x}{3}$.

е)

Сократим дробь $\frac{30a^2}{12ab}$.

Сначала сократим числовые коэффициенты 30 и 12. Их наибольший общий делитель равен 6.

$\frac{30}{12} = \frac{30 \div 6}{12 \div 6} = \frac{5}{2}$.

Теперь сократим переменные. $a^2$ в числителе и $a$ в знаменателе: $\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$.

Переменная $b$ есть только в знаменателе, поэтому она остается там.

Собираем все вместе:

$\frac{30a^2}{12ab} = \frac{5 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{a} \cdot a}{2 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{a} \cdot b} = \frac{5a}{2b}$

Сокращение возможно при $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Ответ: $\frac{5a}{2b}$.

ж)

Рассмотрим дробь $\frac{n^2 + 2n}{12n}$. Числитель представляет собой сумму, поэтому для сокращения его нужно сначала разложить на множители.

Вынесем общий множитель $n$ за скобки в числителе:

$n^2 + 2n = n(n+2)$

Теперь дробь имеет вид: $\frac{n(n+2)}{12n}$.

Мы можем сократить общий множитель $n$ в числителе и знаменателе (при условии, что $n \neq 0$).

$\frac{\cancel{n}(n+2)}{12\cancel{n}} = \frac{n+2}{12}$

Ответ: $\frac{n+2}{12}$.

з)

Чтобы сократить дробь $\frac{6a - 6b}{12}$, необходимо разложить на множители числитель.

В выражении $6a - 6b$ вынесем общий множитель 6 за скобки:

$6a - 6b = 6(a-b)$

Подставим это в дробь:

$\frac{6(a-b)}{12}$

Теперь можно сократить числовые коэффициенты 6 и 12:

$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

В результате получаем:

$\frac{\cancel{6}(a-b)}{\cancel{12}_2} = \frac{a-b}{2}$

Ответ: $\frac{a-b}{2}$.