Номер 164, страница 35, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

164 Игра «Остров сокровищ»

1) На острове сокровищ была пещера, в которой Флинт спрятал свои сокровища. Вход в пещеру был тщательно замаскирован, и найти его мог только старый пират Бен Ганн. Перед смертью Бен Ганн решил оставить для потомков шифрованное письмо с описанием системы координат. Далее с помощью координат он зашифровал место, где спрятан клад:

Пещера с сокровищами находится в точке пересечения диагоналей четырехугольника, образованного четырьмя дубами: $(0;1), (2; 7), (8; 5), (5; 1)$

Определи координаты входа в пещеру.

2) Нанеси на карту объекты: А — форт, В — бухта, С — склад, D — водопад, Е — гора, F — форт, N — наблюдательная вышка и ещё два каких-нибудь объекта М и К. Опиши их положение с помощью координат и сообщи эти координаты товарищу по парте. Пусть он восстановит твою карту, а ты, в свою очередь, восстанови его карту. Кто сумел правильнее расшифровать местонахождение зашифрованных объектов?

1)

Чтобы определить координаты входа в пещеру, необходимо найти точку пересечения диагоналей четырёхугольника. Вершины четырёхугольника (места, где стоят дубы) имеют координаты: A(0; 1), B(2; 7), C(8; 5) и D(5; 1).

Диагоналями четырёхугольника являются отрезки, соединяющие его противоположные вершины. В данном случае это отрезки AC и BD.

Сначала найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(0; 1) и C(8; 5). Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, имеет вид:

$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $

Подставим координаты точек A и C:

$ \frac{y - 1}{5 - 1} = \frac{x - 0}{8 - 0} $

$ \frac{y - 1}{4} = \frac{x}{8} $

Умножим обе части уравнения на 8:

$ 2(y - 1) = x $

$ 2y - 2 = x $

Выразим $y$:

$ 2y = x + 2 $

$ y = \frac{1}{2}x + 1 $ (Уравнение 1)

Теперь найдём уравнение прямой, проходящей через точки B(2; 7) и D(5; 1). Подставим их координаты в ту же формулу:

$ \frac{y - 7}{1 - 7} = \frac{x - 2}{5 - 2} $

$ \frac{y - 7}{-6} = \frac{x - 2}{3} $

Умножим обе части уравнения на -6:

$ y - 7 = -2(x - 2) $

$ y - 7 = -2x + 4 $

Выразим $y$:

$ y = -2x + 11 $ (Уравнение 2)

Точка пересечения диагоналей является решением системы этих двух линейных уравнений. Приравняем правые части уравнений 1 и 2:

$ \frac{1}{2}x + 1 = -2x + 11 $

Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$ \frac{1}{2}x + 2x = 11 - 1 $

$ 2.5x = 10 $

$ x = \frac{10}{2.5} $

$ x = 4 $

Теперь найдём $y$, подставив значение $x=4$ в любое из уравнений. Используем Уравнение 2:

$ y = -2(4) + 11 = -8 + 11 = 3 $

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей, то есть входа в пещеру, равны (4; 3).

Ответ: (4; 3)

2)

Это задание представляет собой интерактивную игру, цель которой — научиться использовать систему координат для описания местоположения объектов и для восстановления карты по координатам.

Вот как можно выполнить это задание:

1. Начертите на листе бумаги систему координат (оси X и Y).

2. Расставьте на этой "карте" все перечисленные объекты, а также придумайте два своих (например, М - старый колодец, K - пальмовая роща). Для каждого объекта определите его координаты.

Пример такого расположения:

• A – форт: (1; 8)
• B – бухта: (9; 3)
• C – склад: (4; 4)
• D – водопад: (7; 9)
• E – гора: (5; 6)
• F – форт: (10; 10)
• N – наблюдательная вышка: (0; 5)
• M – старый колодец: (8; 1)
• K – пальмовая роща: (2; 2)

3. Сообщите вашему товарищу по парте только список объектов и их координат, не показывая свою карту.

4. Товарищ должен на своем листе с системой координат отметить все точки в соответствии с полученным списком и соединить их или нарисовать условные обозначения, чтобы восстановить вашу карту.

5. Одновременно ваш товарищ делает то же самое: создает свою карту и дает вам список координат для расшифровки.

6. В конце вы сравниваете нарисованные карты с оригиналами. Тот, чья восстановленная карта точнее всего соответствует оригиналу, и будет считаться победителем.

Ответ: Решение этого задания заключается в выполнении описанной игровой механики. Успех зависит от точности определения, записи и последующего считывания координат объектов. Конкретных координат в ответе быть не может, так как это творческое задание.