Номер 165, страница 35, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

165 1) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми равно 96 км. Скорость первого велосипедиста 15 км/ч. Чему равна скорость второго велосипедиста, если велосипедисты встретились через 3 ч? Какое расстояние будет между велосипедистами через 2 ч после встречи, если они продолжат движение?

2) По шоссе в одном направлении едут автомобиль и автобус. Автобус движется впереди со скоростью 60 км/ч, а автомобиль догоняет его со скоростью 75 км/ч. Сейчас между ними 45 км. Через сколько времени автомобиль перегонит автобус на 30 км?

1) Задача состоит из двух частей. Сначала найдем скорость второго велосипедиста.

Дано: начальное расстояние $S = 96$ км, скорость первого велосипедиста $v_1 = 15$ км/ч, время до встречи $t_{встр} = 3$ ч. Пусть $v_2$ – искомая скорость второго велосипедиста. Так как велосипедисты едут навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.

За время до встречи они вместе преодолевают все начальное расстояние. Используем формулу пути: $S = v_{сбл} \cdot t_{встр}$. Из этой формулы можно найти скорость сближения:

$v_{сбл} = S / t_{встр} = 96 / 3 = 32$ км/ч.

Зная скорость сближения и скорость первого велосипедиста, можем найти скорость второго:

$v_2 = v_{сбл} - v_1 = 32 - 15 = 17$ км/ч.

Теперь ответим на второй вопрос: какое расстояние будет между велосипедистами через 2 часа после встречи. После встречи велосипедисты продолжают движение и начинают удаляться друг от друга. Скорость удаления равна скорости сближения, то есть $v_{удал} = v_1 + v_2 = 32$ км/ч. Найдем расстояние $S_{после}$, на которое они удалятся за время $t_{после} = 2$ ч:

$S_{после} = v_{удал} \cdot t_{после} = 32 \cdot 2 = 64$ км.

Ответ: скорость второго велосипедиста равна 17 км/ч, а расстояние между ними через 2 ч после встречи будет 64 км.

2) В этой задаче автомобиль догоняет автобус. Дано: скорость автобуса $v_{автб} = 60$ км/ч, скорость автомобиля $v_{авт} = 75$ км/ч, начальное расстояние между ними $S_{нач} = 45$ км (автобус впереди). Требуется найти время, через которое автомобиль будет впереди автобуса на $S_{конеч} = 30$ км.

Так как автомобиль и автобус движутся в одном направлении, скорость, с которой автомобиль догоняет автобус (скорость сближения), равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_{авт} - v_{автб} = 75 - 60 = 15$ км/ч.

Это относительная скорость, с которой расстояние между ними изменяется.

Чтобы автомобиль перегнал автобус на 30 км, ему сначала нужно преодолеть начальное расстояние в 45 км (чтобы догнать автобус), а затем создать новое расстояние в 30 км (чтобы опередить его). Таким образом, общее расстояние, которое автомобиль должен "выиграть" у автобуса, составляет сумму этих двух расстояний:

$S_{общ} = S_{нач} + S_{конеч} = 45 + 30 = 75$ км.

Время, необходимое для этого, можно найти, разделив общее расстояние, которое нужно наверстать, на скорость сближения:

$t = S_{общ} / v_{сбл} = 75 / 15 = 5$ ч.

Ответ: автомобиль перегонит автобус на 30 км через 5 часов.