Номер 191, страница 39, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

191 Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) $\frac{8}{9}$ и $\frac{11}{18}$;

б) $\frac{4}{15}$ и $\frac{3}{7}$;

в) $\frac{7}{24}$ и $\frac{13}{30}$.

192

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Затем для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив НОК на знаменатель этой дроби. Наконец, умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

а)

Даны дроби $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{11}{18} $. Знаменатели этих дробей — 9 и 18.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 18.

Так как 18 делится на 9 без остатка ($18 = 9 \cdot 2$), то НОК(9, 18) = 18.

Наименьший общий знаменатель равен 18.

Для первой дроби $ \frac{8}{9} $ найдем дополнительный множитель: $18 : 9 = 2$.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 2:

$ \frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{16}{18} $.

Вторая дробь $ \frac{11}{18} $ уже имеет знаменатель 18, поэтому она остается без изменений.

Ответ: $ \frac{16}{18} $ и $ \frac{11}{18} $.

б)

Даны дроби $ \frac{4}{15} $ и $ \frac{3}{7} $. Знаменатели — 15 и 7.

Найдем НОК чисел 15 и 7. Поскольку 7 — простое число, а 15 на 7 не делится, эти числа взаимно простые. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК(15, 7) = $15 \cdot 7 = 105$.

Наименьший общий знаменатель равен 105.

Найдем дополнительные множители. Для дроби $ \frac{4}{15} $ множитель равен $105 : 15 = 7$. Для дроби $ \frac{3}{7} $ множитель равен $105 : 7 = 15$.

Умножим числители и знаменатели на соответствующие множители:

$ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 7}{15 \cdot 7} = \frac{28}{105} $; $ \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 15}{7 \cdot 15} = \frac{45}{105} $.

Ответ: $ \frac{28}{105} $ и $ \frac{45}{105} $.

в)

Даны дроби $ \frac{7}{24} $ и $ \frac{13}{30} $. Знаменатели — 24 и 30.

Найдем НОК чисел 24 и 30, разложив их на простые множители.

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Для нахождения НОК берем все простые множители в наибольшей встречающейся степени: $2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.

НОК(24, 30) = $8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

Наименьший общий знаменатель равен 120.

Найдем дополнительные множители. Для дроби $ \frac{7}{24} $ множитель равен $120 : 24 = 5$. Для дроби $ \frac{13}{30} $ множитель равен $120 : 30 = 4$.

Приведем дроби к знаменателю 120:

$ \frac{7}{24} = \frac{7 \cdot 5}{24 \cdot 5} = \frac{35}{120} $; $ \frac{13}{30} = \frac{13 \cdot 4}{30 \cdot 4} = \frac{52}{120} $.

Ответ: $ \frac{35}{120} $ и $ \frac{52}{120} $.