Номер 197, страница 41, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

К 197 Выполни действия:

а) $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3}; $

б) $ \frac{1}{4} - \frac{1}{5}; $

в) $ \frac{3}{5} + \frac{4}{7}; $

г) $ \frac{5}{9} - \frac{3}{8}; $

д) $ \frac{1}{6} + \frac{1}{12}; $

е) $ \frac{2}{3} - \frac{4}{27}; $

ж) $ \frac{23}{25} + \frac{4}{5}; $

з) $ \frac{29}{60} - \frac{7}{30}; $

и) $ \frac{7}{9} + \frac{5}{12}; $

к) $ \frac{11}{12} - \frac{5}{18}; $

л) $ \frac{3}{8} + \frac{19}{20}; $

м) $ \frac{5}{6} - \frac{8}{15}; $

н) $ \frac{17}{20} + \frac{11}{15}; $

о) $ \frac{19}{42} - \frac{5}{63}; $

п) $ \frac{16}{21} + \frac{13}{15}; $

р) $ \frac{21}{22} - \frac{3}{55}. $

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 2 и 3 равно 6. Дополнительный множитель для первой дроби: $6 \div 2 = 3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $6 \div 3 = 2$.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$

б) Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. НОК(4, 5) = 20. Дополнительный множитель для первой дроби: $20 \div 4 = 5$. Для второй: $20 \div 5 = 4$.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{5-4}{20} = \frac{1}{20}$.

Ответ: $\frac{1}{20}$

в) Приводим дроби к общему знаменателю. НОК(5, 7) = 35. Дополнительные множители: для первой дроби $35 \div 5 = 7$, для второй $35 \div 7 = 5$.

$\frac{3}{5} + \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{21}{35} + \frac{20}{35} = \frac{21+20}{35} = \frac{41}{35}$.

Ответ: $\frac{41}{35}$

г) Общий знаменатель для 9 и 8 - это их НОК, равное 72. Дополнительные множители: $72 \div 9 = 8$ для первой дроби и $72 \div 8 = 9$ для второй.

$\frac{5}{9} - \frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{40}{72} - \frac{27}{72} = \frac{40-27}{72} = \frac{13}{72}$.

Ответ: $\frac{13}{72}$

д) Знаменатель 12 кратен знаменателю 6, поэтому общий знаменатель равен 12. Дополнительный множитель для первой дроби: $12 \div 6 = 2$. Вторая дробь остается без изменений.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2+1}{12} = \frac{3}{12}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

е) Общий знаменатель - 27, так как 27 делится на 3. Дополнительный множитель для первой дроби: $27 \div 3 = 9$.

$\frac{2}{3} - \frac{4}{27} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{4}{27} = \frac{18}{27} - \frac{4}{27} = \frac{18-4}{27} = \frac{14}{27}$.

Ответ: $\frac{14}{27}$

ж) Общий знаменатель - 25, так как 25 делится на 5. Дополнительный множитель для второй дроби: $25 \div 5 = 5$.

$\frac{23}{25} + \frac{4}{5} = \frac{23}{25} + \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{23}{25} + \frac{20}{25} = \frac{23+20}{25} = \frac{43}{25}$.

Ответ: $\frac{43}{25}$

з) Общий знаменатель - 60, так как 60 делится на 30. Дополнительный множитель для второй дроби: $60 \div 30 = 2$.

$\frac{29}{60} - \frac{7}{30} = \frac{29}{60} - \frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{29}{60} - \frac{14}{60} = \frac{29-14}{60} = \frac{15}{60}$.

Сократим дробь на 15: $\frac{15 \div 15}{60 \div 15} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

и) Найдем НОК(9, 12). $9 = 3^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$. НОК(9, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 36$. Дополнительные множители: $36 \div 9 = 4$ и $36 \div 12 = 3$.

$\frac{7}{9} + \frac{5}{12} = \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{28}{36} + \frac{15}{36} = \frac{28+15}{36} = \frac{43}{36}$.

Ответ: $\frac{43}{36}$

к) Найдем НОК(12, 18). $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 36$. Дополнительные множители: $36 \div 12 = 3$ и $36 \div 18 = 2$.

$\frac{11}{12} - \frac{5}{18} = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{33}{36} - \frac{10}{36} = \frac{33-10}{36} = \frac{23}{36}$.

Ответ: $\frac{23}{36}$

л) Найдем НОК(8, 20). $8 = 2^3$, $20 = 2^2 \cdot 5$. НОК(8, 20) = $2^3 \cdot 5 = 40$. Дополнительные множители: $40 \div 8 = 5$ и $40 \div 20 = 2$.

$\frac{3}{8} + \frac{19}{20} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} + \frac{19 \cdot 2}{20 \cdot 2} = \frac{15}{40} + \frac{38}{40} = \frac{15+38}{40} = \frac{53}{40}$.

Ответ: $\frac{53}{40}$

м) Найдем НОК(6, 15). $6 = 2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. НОК(6, 15) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Дополнительные множители: $30 \div 6 = 5$ и $30 \div 15 = 2$.

$\frac{5}{6} - \frac{8}{15} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{25}{30} - \frac{16}{30} = \frac{25-16}{30} = \frac{9}{30}$.

Сократим дробь на 3: $\frac{9 \div 3}{30 \div 3} = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$

н) Найдем НОК(20, 15). $20 = 2^2 \cdot 5$, $15 = 3 \cdot 5$. НОК(20, 15) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$. Дополнительные множители: $60 \div 20 = 3$ и $60 \div 15 = 4$.

$\frac{17}{20} + \frac{11}{15} = \frac{17 \cdot 3}{20 \cdot 3} + \frac{11 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{51}{60} + \frac{44}{60} = \frac{51+44}{60} = \frac{95}{60}$.

Сократим дробь на 5: $\frac{95 \div 5}{60 \div 5} = \frac{19}{12}$.

Ответ: $\frac{19}{12}$

о) Найдем НОК(42, 63). $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $63 = 3^2 \cdot 7$. НОК(42, 63) = $2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$. Дополнительные множители: $126 \div 42 = 3$ и $126 \div 63 = 2$.

$\frac{19}{42} - \frac{5}{63} = \frac{19 \cdot 3}{42 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 2}{63 \cdot 2} = \frac{57}{126} - \frac{10}{126} = \frac{57-10}{126} = \frac{47}{126}$.

Ответ: $\frac{47}{126}$

п) Найдем НОК(21, 15). $21 = 3 \cdot 7$, $15 = 3 \cdot 5$. НОК(21, 15) = $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$. Дополнительные множители: $105 \div 21 = 5$ и $105 \div 15 = 7$.

$\frac{16}{21} + \frac{13}{15} = \frac{16 \cdot 5}{21 \cdot 5} + \frac{13 \cdot 7}{15 \cdot 7} = \frac{80}{105} + \frac{91}{105} = \frac{80+91}{105} = \frac{171}{105}$.

Сократим дробь на 3: $\frac{171 \div 3}{105 \div 3} = \frac{57}{35}$.

Ответ: $\frac{57}{35}$

р) Найдем НОК(22, 55). $22 = 2 \cdot 11$, $55 = 5 \cdot 11$. НОК(22, 55) = $2 \cdot 5 \cdot 11 = 110$. Дополнительные множители: $110 \div 22 = 5$ и $110 \div 55 = 2$.

$\frac{21}{22} - \frac{3}{55} = \frac{21 \cdot 5}{22 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 2}{55 \cdot 2} = \frac{105}{110} - \frac{6}{110} = \frac{105-6}{110} = \frac{99}{110}$.

Сократим дробь на 11: $\frac{99 \div 11}{110 \div 11} = \frac{9}{10}$.

Ответ: $\frac{9}{10}$