Номер 198, страница 41, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

198 Найди значение выражения:

а) $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4};$

б) $\frac{7}{8} + \frac{1}{6} - \frac{2}{3};$

в) $\frac{9}{10} - \frac{3}{5} + \frac{5}{7};$

г) $\frac{5}{24} - \frac{1}{60} - \frac{1}{40};$

д) $\frac{5}{14} + \frac{10}{21} - \frac{3}{4};$

е) $\frac{5}{6} - \frac{3}{16} + \frac{5}{12};$

ж) $\left(\frac{7}{10} + \frac{3}{5}\right) - \left(\frac{1}{6} + \frac{2}{3}\right);$

з) $\frac{2}{3} - \left(\frac{1}{20} + \frac{2}{9}\right) - \frac{5}{18};$

и) $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}.$

199 Реши уравнение:

а) $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}$

Для сложения дробей с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 2, 3 и 4 равно 12. Приведем дроби к знаменателю 12:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{6}{12} + \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{6 + 8 + 9}{12} = \frac{23}{12}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{23}{12} = 1\frac{11}{12}$

Ответ: $1\frac{11}{12}$

б) $\frac{7}{8} + \frac{1}{6} - \frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. НОК для 8, 6 и 3 равно 24.

$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}$

Выполним действия:

$\frac{21}{24} + \frac{4}{24} - \frac{16}{24} = \frac{21 + 4 - 16}{24} = \frac{9}{24}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{9}{24} = \frac{9 \div 3}{24 \div 3} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$

в) $\frac{9}{10} - \frac{3}{5} + \frac{5}{7}$

Приведем дроби к общему знаменателю. НОК для 10, 5 и 7 равно 70.

$\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 7}{10 \cdot 7} = \frac{63}{70}$

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 14}{5 \cdot 14} = \frac{42}{70}$

$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 10}{7 \cdot 10} = \frac{50}{70}$

Выполним действия:

$\frac{63}{70} - \frac{42}{70} + \frac{50}{70} = \frac{63 - 42 + 50}{70} = \frac{21 + 50}{70} = \frac{71}{70}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{71}{70} = 1\frac{1}{70}$

Ответ: $1\frac{1}{70}$

г) $\frac{5}{24} - \frac{1}{60} - \frac{1}{40}$

Найдем общий знаменатель. $24=2^3 \cdot 3$, $60=2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $40=2^3 \cdot 5$. НОК(24, 60, 40) = $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

$\frac{5}{24} = \frac{5 \cdot 5}{24 \cdot 5} = \frac{25}{120}$

$\frac{1}{60} = \frac{1 \cdot 2}{60 \cdot 2} = \frac{2}{120}$

$\frac{1}{40} = \frac{1 \cdot 3}{40 \cdot 3} = \frac{3}{120}$

Выполним вычитание:

$\frac{25}{120} - \frac{2}{120} - \frac{3}{120} = \frac{25 - 2 - 3}{120} = \frac{20}{120}$

Сократим дробь:

$\frac{20}{120} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

д) $\frac{5}{14} + \frac{10}{21} - \frac{3}{4}$

Найдем общий знаменатель. $14=2 \cdot 7$, $21=3 \cdot 7$, $4=2^2$. НОК(14, 21, 4) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.

$\frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 6}{14 \cdot 6} = \frac{30}{84}$

$\frac{10}{21} = \frac{10 \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{40}{84}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 21}{4 \cdot 21} = \frac{63}{84}$

Выполним действия:

$\frac{30}{84} + \frac{40}{84} - \frac{63}{84} = \frac{30 + 40 - 63}{84} = \frac{7}{84}$

Сократим дробь:

$\frac{7}{84} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

е) $\frac{5}{6} - \frac{3}{16} + \frac{5}{12}$

Найдем общий знаменатель. НОК(6, 16, 12) = 48.

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 8}{6 \cdot 8} = \frac{40}{48}$

$\frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{9}{48}$

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{20}{48}$

Выполним действия:

$\frac{40}{48} - \frac{9}{48} + \frac{20}{48} = \frac{40 - 9 + 20}{48} = \frac{51}{48}$

Сократим дробь и преобразуем в смешанное число:

$\frac{51}{48} = \frac{17}{16} = 1\frac{1}{16}$

Ответ: $1\frac{1}{16}$

ж) $(\frac{7}{10} + \frac{3}{5}) - (\frac{1}{6} + \frac{2}{3})$

Сначала выполним действия в скобках.

1) $\frac{7}{10} + \frac{3}{5} = \frac{7}{10} + \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{7}{10} + \frac{6}{10} = \frac{13}{10}$

2) $\frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$

Теперь выполним вычитание результатов:

3) $\frac{13}{10} - \frac{5}{6}$. Общий знаменатель для 10 и 6 равен 30.

$\frac{13 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{39}{30} - \frac{25}{30} = \frac{39 - 25}{30} = \frac{14}{30}$

Сократим дробь:

$\frac{14}{30} = \frac{7}{15}$

Ответ: $\frac{7}{15}$

з) $\frac{2}{3} - (\frac{1}{20} + \frac{2}{9}) - \frac{5}{18}$

Сначала выполним действие в скобках.

1) $\frac{1}{20} + \frac{2}{9}$. Общий знаменатель для 20 и 9 равен 180.

$\frac{1 \cdot 9}{20 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 20}{9 \cdot 20} = \frac{9}{180} + \frac{40}{180} = \frac{49}{180}$

Теперь выражение имеет вид: $\frac{2}{3} - \frac{49}{180} - \frac{5}{18}$.

Общий знаменатель для 3, 180 и 18 равен 180.

$\frac{2 \cdot 60}{3 \cdot 60} - \frac{49}{180} - \frac{5 \cdot 10}{18 \cdot 10} = \frac{120}{180} - \frac{49}{180} - \frac{50}{180} = \frac{120 - 49 - 50}{180} = \frac{21}{180}$

Сократим дробь на 3:

$\frac{21}{180} = \frac{7}{60}$

Ответ: $\frac{7}{60}$

и) $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$

Найдем общий знаменатель. НОК(3, 4, 5, 6, 7) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.

Приведем дроби к знаменателю 420:

$\frac{140}{420} + \frac{105}{420} + \frac{84}{420} + \frac{70}{420} + \frac{60}{420}$

Сложим числители:

$\frac{140 + 105 + 84 + 70 + 60}{420} = \frac{459}{420}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{459 \div 3}{420 \div 3} = \frac{153}{140}$

Преобразуем в смешанное число:

$\frac{153}{140} = 1\frac{13}{140}$

Ответ: $1\frac{13}{140}$