Номер 203, страница 42, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

203 Запиши для дробей в общем виде и докажи особые случаи сложения и вычитания с нулём. Для каждого случая придумай и реши соответствующие примеры.

Дробь в общем виде записывается как $ \frac{a}{b} $, где $ a $ — числитель (может быть любым целым числом), а $ b $ — знаменатель (любое натуральное число, то есть $ b \neq 0 $). Рассмотрим особые случаи сложения и вычитания дробей с нулём.

Сложение дроби с нулём

Общий вид и доказательство: При сложении любой дроби с нулём получается та же самая дробь. Формула: $ \frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b} $.

Для доказательства представим ноль в виде дроби со знаменателем $ b $: $ 0 = \frac{0}{b} $.

Далее, сложим дроби по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b} + \frac{0}{b} = \frac{a + 0}{b} $.

Так как по свойству сложения целых чисел $ a + 0 = a $, мы получаем $ \frac{a}{b} $.

Следовательно, тождество $ \frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b} $ доказано.

Пример: Найти сумму $ \frac{5}{11} + 0 $.
Решение: $ \frac{5}{11} + 0 = \frac{5}{11} $.

Ответ: $ \frac{5}{11} $.

Вычитание нуля из дроби

Общий вид и доказательство: При вычитании нуля из любой дроби получается та же самая дробь. Формула: $ \frac{a}{b} - 0 = \frac{a}{b} $.

Представим ноль в виде дроби $ \frac{0}{b} $ и выполним вычитание по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{a}{b} - 0 = \frac{a}{b} - \frac{0}{b} = \frac{a - 0}{b} $.

Так как по свойству вычитания целых чисел $ a - 0 = a $, мы получаем $ \frac{a}{b} $.

Следовательно, тождество $ \frac{a}{b} - 0 = \frac{a}{b} $ доказано.

Пример: Найти разность $ \frac{8}{9} - 0 $.
Решение: $ \frac{8}{9} - 0 = \frac{8}{9} $.

Ответ: $ \frac{8}{9} $.

Вычитание дроби из нуля

Общий вид и доказательство: При вычитании дроби из нуля получается та же дробь, но с противоположным знаком. Формула: $ 0 - \frac{a}{b} = -\frac{a}{b} $.

Представим ноль как дробь $ \frac{0}{b} $ и выполним вычитание:

$ 0 - \frac{a}{b} = \frac{0}{b} - \frac{a}{b} = \frac{0 - a}{b} $.

Так как $ 0 - a = -a $, мы получаем $ \frac{-a}{b} $, что равносильно $ -\frac{a}{b} $.

Следовательно, тождество $ 0 - \frac{a}{b} = -\frac{a}{b} $ доказано.

Пример: Найти разность $ 0 - \frac{3}{4} $.
Решение: $ 0 - \frac{3}{4} = -\frac{3}{4} $.

Ответ: $ -\frac{3}{4} $.

Вычитание дроби из самой себя

Общий вид и доказательство: Это частный случай вычитания, в результате которого всегда получается ноль. Формула: $ \frac{a}{b} - \frac{a}{b} = 0 $.

Воспользуемся правилом вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{a}{b} - \frac{a}{b} = \frac{a - a}{b} $.

Так как разность любого числа и его самого равна нулю ($ a - a = 0 $), получаем $ \frac{0}{b} $.

Дробь, у которой числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, равна нулю.

Следовательно, тождество $ \frac{a}{b} - \frac{a}{b} = 0 $ доказано.

Пример: Найти разность $ \frac{7}{15} - \frac{7}{15} $.
Решение: $ \frac{7}{15} - \frac{7}{15} = \frac{7 - 7}{15} = \frac{0}{15} = 0 $.

Ответ: $ 0 $.