Номер 201, страница 41, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

201 Для дробей с общим знаменателем $n$ запиши в буквенном виде и докажи:

1) переместительное свойство сложения;

2) сочетательное свойство сложения;

3) правило вычитания числа из суммы;

4) правило вычитания суммы из числа.

1) переместительное свойство сложения

Переместительное свойство сложения для дробей с общим знаменателем $n$ утверждает, что от перестановки слагаемых-дробей их сумма не изменяется. В буквенном виде это записывается как: $\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{b}{n} + \frac{a}{n}$.

Доказательство. При сложении дробей с одинаковым знаменателем складываются их числители, а знаменатель остается тем же.

Преобразуем левую часть равенства: $\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n}$.

Преобразуем правую часть: $\frac{b}{n} + \frac{a}{n} = \frac{b+a}{n}$.

Поскольку для числителей $a$ и $b$ справедливо переместительное свойство сложения чисел ($a+b = b+a$), то $\frac{a+b}{n} = \frac{b+a}{n}$.

Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: $\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{b}{n} + \frac{a}{n}$.

2) сочетательное свойство сложения

Сочетательное свойство сложения для дробей с общим знаменателем $n$ утверждает, что результат сложения трёх и более дробей не зависит от порядка действий (расстановки скобок). В буквенном виде: $(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}) + \frac{c}{n} = \frac{a}{n} + (\frac{b}{n} + \frac{c}{n})$.

Доказательство. Преобразуем левую часть равенства, выполняя действия по порядку. Сначала выполним сложение в скобках: $\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n}$. Затем прибавим третью дробь: $\frac{a+b}{n} + \frac{c}{n} = \frac{(a+b)+c}{n}$.

Теперь преобразуем правую часть. Сначала сложение в скобках: $\frac{b}{n} + \frac{c}{n} = \frac{b+c}{n}$. Затем прибавим первую дробь: $\frac{a}{n} + \frac{b+c}{n} = \frac{a+(b+c)}{n}$.

Для числителей $a, b, c$ справедливо сочетательное свойство сложения чисел: $(a+b)+c = a+(b+c)$. Значит, $\frac{(a+b)+c}{n} = \frac{a+(b+c)}{n}$, и исходное равенство доказано.

Ответ: $(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}) + \frac{c}{n} = \frac{a}{n} + (\frac{b}{n} + \frac{c}{n})$.

3) правило вычитания числа из суммы

Чтобы вычесть дробь из суммы двух других дробей (с тем же знаменателем), можно вычесть ее из одного из слагаемых, а затем к результату прибавить другое слагаемое. Это правило имеет два вида, в зависимости от того, из какого слагаемого производится вычитание (при условии, что вычитание возможно, т.е. слагаемое, из которого вычитают, больше или равно вычитаемой дроби).

В буквенном виде:
1) $(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}) - \frac{c}{n} = (\frac{a}{n} - \frac{c}{n}) + \frac{b}{n}$ при $\frac{a}{n} \geq \frac{c}{n}$
2) $(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}) - \frac{c}{n} = \frac{a}{n} + (\frac{b}{n} - \frac{c}{n})$ при $\frac{b}{n} \geq \frac{c}{n}$

Доказательство (для первого случая). Преобразуем левую часть равенства: $(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}) - \frac{c}{n} = \frac{a+b}{n} - \frac{c}{n} = \frac{(a+b)-c}{n}$.

Преобразуем правую часть: $(\frac{a}{n} - \frac{c}{n}) + \frac{b}{n} = \frac{a-c}{n} + \frac{b}{n} = \frac{(a-c)+b}{n}$.

Для числителей $a, b, c$ справедливо свойство вычитания числа из суммы: $(a+b)-c = (a-c)+b$.

Следовательно, $\frac{(a+b)-c}{n} = \frac{(a-c)+b}{n}$, и равенство доказано.

Ответ: $(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}) - \frac{c}{n} = (\frac{a}{n} - \frac{c}{n}) + \frac{b}{n}$ (при $\frac{a}{n} \geq \frac{c}{n}$) или $(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}) - \frac{c}{n} = \frac{a}{n} + (\frac{b}{n} - \frac{c}{n})$ (при $\frac{b}{n} \geq \frac{c}{n}$).

4) правило вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть сумму двух дробей из третьей дроби (с тем же знаменателем), можно последовательно вычесть из этой дроби каждое слагаемое. В буквенном виде это записывается так: $\frac{a}{n} - (\frac{b}{n} + \frac{c}{n}) = (\frac{a}{n} - \frac{b}{n}) - \frac{c}{n}$. Это правило применимо при условии, что уменьшаемое больше или равно сумме вычитаемых, т.е. $\frac{a}{n} \geq \frac{b}{n} + \frac{c}{n}$.

Доказательство. Преобразуем левую часть: $\frac{a}{n} - (\frac{b}{n} + \frac{c}{n}) = \frac{a}{n} - \frac{b+c}{n} = \frac{a-(b+c)}{n}$.

Преобразуем правую часть: $(\frac{a}{n} - \frac{b}{n}) - \frac{c}{n} = \frac{a-b}{n} - \frac{c}{n} = \frac{(a-b)-c}{n}$.

Для числителей $a, b, c$ справедливо правило вычитания суммы из числа: $a-(b+c) = (a-b)-c$.

Отсюда следует, что $\frac{a-(b+c)}{n} = \frac{(a-b)-c}{n}$, что и доказывает исходное равенство.

Ответ: $\frac{a}{n} - (\frac{b}{n} + \frac{c}{n}) = (\frac{a}{n} - \frac{b}{n}) - \frac{c}{n}$ (при $\frac{a}{n} \geq \frac{b}{n} + \frac{c}{n}$).