Номер 199, страница 41, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

199 Реши уравнение:

1) $x + \frac{3}{20} = \frac{5}{12} + \frac{2}{9}$;

2) $\frac{5}{7} - y = \frac{1}{54} + \frac{1}{9} - \frac{10}{27}$;

3) $\frac{3}{4} + \left(\frac{5}{8} + t\right) = \frac{11}{12} + \frac{7}{8}$;

4) $\left(\frac{4}{5} - k\right) - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10}$.

1) $x + \frac{3}{20} = \frac{5}{12} + \frac{2}{9}$
Сначала упростим правую часть уравнения. Для этого приведем дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{2}{9}$ к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для 12 и 9 равно 36.
$\frac{5}{12} + \frac{2}{9} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{15}{36} + \frac{8}{36} = \frac{15+8}{36} = \frac{23}{36}$
Теперь уравнение имеет вид:
$x + \frac{3}{20} = \frac{23}{36}$
Чтобы найти $x$, перенесем $\frac{3}{20}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x = \frac{23}{36} - \frac{3}{20}$
Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{23}{36}$ и $\frac{3}{20}$. НОК(36, 20) = 180.
$x = \frac{23 \cdot 5}{36 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 9}{20 \cdot 9} = \frac{115}{180} - \frac{27}{180} = \frac{115 - 27}{180} = \frac{88}{180}$
Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 4.
$x = \frac{88 \div 4}{180 \div 4} = \frac{22}{45}$
Ответ: $x = \frac{22}{45}$

2) $\frac{5}{7} - y = \frac{1}{54} + \frac{1}{9} - \frac{10}{27}$
Упростим правую часть уравнения. НОК для знаменателей 54, 9 и 27 равно 54.
$\frac{1}{54} + \frac{1}{9} - \frac{10}{27} = \frac{1}{54} + \frac{1 \cdot 6}{9 \cdot 6} - \frac{10 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{1}{54} + \frac{6}{54} - \frac{20}{54} = \frac{1+6-20}{54} = \frac{7-20}{54} = -\frac{13}{54}$
Уравнение принимает вид:
$\frac{5}{7} - y = -\frac{13}{54}$
Чтобы найти $y$ (вычитаемое), нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$y = \frac{5}{7} - (-\frac{13}{54}) = \frac{5}{7} + \frac{13}{54}$
Найдем общий знаменатель для 7 и 54. Так как числа взаимно простые, НОК(7, 54) = $7 \cdot 54 = 378$.
$y = \frac{5 \cdot 54}{7 \cdot 54} + \frac{13 \cdot 7}{54 \cdot 7} = \frac{270}{378} + \frac{91}{378} = \frac{270+91}{378} = \frac{361}{378}$
Ответ: $y = \frac{361}{378}$

3) $\frac{3}{4} + (\frac{5}{8} + t) = \frac{11}{12} + \frac{7}{8}$
Сначала упростим обе части уравнения. Можно раскрыть скобки в левой части.
$\frac{3}{4} + \frac{5}{8} + t = \frac{11}{12} + \frac{7}{8}$
Вычислим сумму дробей в левой части. НОК(4, 8) = 8.
$\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{8} = \frac{6}{8} + \frac{5}{8} = \frac{11}{8}$
Вычислим сумму дробей в правой части. НОК(12, 8) = 24.
$\frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{22}{24} + \frac{21}{24} = \frac{43}{24}$
Уравнение принимает вид:
$\frac{11}{8} + t = \frac{43}{24}$
Чтобы найти $t$, вычтем $\frac{11}{8}$ из правой части:
$t = \frac{43}{24} - \frac{11}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю 24.
$t = \frac{43}{24} - \frac{11 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{43}{24} - \frac{33}{24} = \frac{43-33}{24} = \frac{10}{24}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.
$t = \frac{10 \div 2}{24 \div 2} = \frac{5}{12}$
Ответ: $t = \frac{5}{12}$

4) $(\frac{4}{5} - k) - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10}$
Упростим правую часть уравнения. НОК(6, 10) = 30.
$\frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
Уравнение принимает вид:
$(\frac{4}{5} - k) - \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$
Выражение в скобках $(\frac{4}{5} - k)$ является уменьшаемым. Чтобы его найти, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$\frac{4}{5} - k = \frac{1}{15} + \frac{1}{3}$
Вычислим сумму в правой части. НОК(15, 3) = 15.
$\frac{1}{15} + \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15} + \frac{5}{15} = \frac{6}{15}$
Сократим дробь $\frac{6}{15}$ на 3. Получим $\frac{2}{5}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{4}{5} - k = \frac{2}{5}$
Чтобы найти вычитаемое $k$, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$k = \frac{4}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4-2}{5} = \frac{2}{5}$
Ответ: $k = \frac{2}{5}$