Номер 210, страница 43, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

210 1) Из двух городов одновременно навстречу другу другу выехали 2 автомобиля. Один может проехать всё расстояние между городами за 5 ч, а другой – за 4 ч. Какая часть первоначального расстояния будет между ними через 1 ч?

2) Реши предыдущую задачу для случая движения вдогонку.

1)

Примем все расстояние между городами за 1 единицу.

Первый автомобиль может проехать все расстояние за 5 часов, значит, его скорость составляет $\frac{1}{5}$ расстояния в час.

Второй автомобиль может проехать все расстояние за 4 часа, значит, его скорость составляет $\frac{1}{4}$ расстояния в час.

Поскольку автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем скорость их сближения:

$v_{сближения} = v_1 + v_2 = \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 20:

$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{9}{20}$

Это означает, что за 1 час автомобили вместе проезжают $\frac{9}{20}$ всего расстояния. Чтобы найти, какая часть расстояния останется между ними, нужно из всего расстояния (1) вычесть ту часть, которую они проехали:

$1 - \frac{9}{20} = \frac{20}{20} - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$

Ответ: $\frac{11}{20}$

2)

В случае движения вдогонку один автомобиль (более быстрый) догоняет другой (более медленный). Они оба выезжают из разных городов, но движутся в одном направлении.

Скорости автомобилей остаются прежними: $v_1 = \frac{1}{5}$ и $v_2 = \frac{1}{4}$ расстояния в час.

Скорость сближения при движении вдогонку равна разности скоростей более быстрого и более медленного автомобиля:

$v_{сближения} = v_{быстрый} - v_{медленный} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 20:

$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20}$

Это означает, что за 1 час расстояние между автомобилями сокращается на $\frac{1}{20}$ от первоначального. Чтобы найти, какая часть расстояния останется между ними через 1 час, нужно из первоначального расстояния (1) вычесть ту часть, на которую оно сократилось:

$1 - \frac{1}{20} = \frac{20}{20} - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$

Ответ: $\frac{19}{20}$