Номер 213, страница 43, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

213 Докажи или опровергни утверждения:

1) $\exists x \in N: \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$;

2) $\exists y \in N: \frac{y}{2} < \frac{1}{2}$;

3) $\exists a \in N: \frac{1}{3} < \frac{a}{12} < \frac{1}{2}$;

4) $\exists b \in N: \frac{1}{3} < \frac{4}{b} < \frac{1}{2}$;

5) $\exists n \in N: \frac{1}{3} < \frac{n}{8} < \frac{1}{2}$;

6) $\exists p, q \in N: \frac{1}{3} < \frac{p}{q} < \frac{1}{2}$.

1) Утверждение: существует такое натуральное число $x$, что $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$.

Чтобы доказать это утверждение, достаточно найти хотя бы одно натуральное число $x$, удовлетворяющее данному неравенству. Решим неравенство $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$.

Поскольку $x$ по условию является натуральным числом, $x > 0$. Умножим обе части неравенства на положительное число $2x$, при этом знак неравенства сохранится:

$2x \cdot \frac{1}{x} < 2x \cdot \frac{1}{2}$

$2 < x$

Таким образом, любое натуральное число $x$, большее 2, удовлетворяет неравенству. Например, выберем $x=3$. Число 3 является натуральным.

Подставим $x=3$ в исходное неравенство: $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$. Это верное неравенство, так как $2 < 3$ при приведении к общему знаменателю. Так как мы нашли пример, утверждение доказано.

Ответ: утверждение верно.

2) Утверждение: существует такое натуральное число $y$, что $\frac{y}{2} < \frac{1}{2}$.

Чтобы проверить утверждение, решим неравенство $\frac{y}{2} < \frac{1}{2}$ относительно натурального числа $y$.

Умножим обе части неравенства на 2:

$y < 1$

Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \ldots\}$. Самое маленькое натуральное число равно 1. Следовательно, не существует натурального числа $y$, которое было бы меньше 1. Так как ни одно натуральное число не удовлетворяет неравенству, утверждение ложно.

Ответ: утверждение неверно.

3) Утверждение: существует такое натуральное число $a$, что $\frac{1}{3} < \frac{a}{12} < \frac{1}{2}$.

Решим двойное неравенство относительно натурального числа $a$. Умножим все три части неравенства на 12 (знак неравенства не меняется):

$12 \cdot \frac{1}{3} < 12 \cdot \frac{a}{12} < 12 \cdot \frac{1}{2}$

$4 < a < 6$

Мы ищем натуральное число $a$, которое находится в интервале $(4, 6)$. Единственное целое число в этом интервале — это 5. Число 5 является натуральным.

Проверим: при $a=5$ получаем $\frac{4}{12} < \frac{5}{12} < \frac{6}{12}$, что эквивалентно исходному неравенству $\frac{1}{3} < \frac{5}{12} < \frac{1}{2}$. Неравенство верное.

Поскольку мы нашли такое натуральное число, утверждение доказано.

Ответ: утверждение верно.

4) Утверждение: существует такое натуральное число $b$, что $\frac{1}{3} < \frac{4}{b} < \frac{1}{2}$.

Решим двойное неравенство относительно натурального числа $b$. Все части неравенства положительны. Возьмём обратные величины от каждой части, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$3 > \frac{b}{4} > 2$

Теперь умножим все части на 4:

$12 > b > 8$

Мы ищем натуральное число $b$, которое находится в интервале $(8, 12)$. Такими числами являются 9, 10 и 11. Выберем любое из них, например, $b=9$.

Проверим: при $b=9$ получаем $\frac{1}{3} < \frac{4}{9} < \frac{1}{2}$. Первое неравенство $\frac{1}{3} < \frac{4}{9}$ верно, так как $9 < 12$. Второе неравенство $\frac{4}{9} < \frac{1}{2}$ верно, так как $8 < 9$.

Поскольку мы нашли такое натуральное число, утверждение доказано.

Ответ: утверждение верно.

5) Утверждение: существует такое натуральное число $n$, что $\frac{1}{3} < \frac{n}{8} < \frac{1}{2}$.

Решим двойное неравенство относительно натурального числа $n$. Умножим все три части на 8:

$8 \cdot \frac{1}{3} < n < 8 \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{8}{3} < n < 4$

Так как $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, мы ищем натуральное число $n$, такое что $2\frac{2}{3} < n < 4$. Единственное целое число в этом интервале — 3. Число 3 является натуральным.

Проверим: при $n=3$ получаем $\frac{1}{3} < \frac{3}{8} < \frac{1}{2}$. Первое неравенство $\frac{1}{3} < \frac{3}{8}$ верно, так как $8 < 9$. Второе неравенство $\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$ верно, так как $6 < 8$.

Поскольку мы нашли такое натуральное число, утверждение доказано.

Ответ: утверждение верно.

6) Утверждение: существуют такие натуральные числа $p$ и $q$, что $\frac{1}{3} < \frac{p}{q} < \frac{1}{2}$.

Данное утверждение эквивалентно вопросу о существовании рационального числа (дроби с натуральными числителем и знаменателем) между числами $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$.

Согласно свойству плотности множества рациональных чисел, между любыми двумя различными рациональными числами всегда существует другое рациональное число. Чтобы найти такое число, можно привести дроби к общему знаменателю и взять промежуточную дробь, или найти их среднее арифметическое.

Найдем среднее арифметическое: $\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{2+3}{6}}{2} = \frac{5/6}{2} = \frac{5}{12}$.

В данном случае $p=5$ и $q=12$. Оба числа являются натуральными. Проверим, что дробь $\frac{5}{12}$ удовлетворяет неравенству: $\frac{1}{3} < \frac{5}{12} < \frac{1}{2}$. Приведем к общему знаменателю 12: $\frac{4}{12} < \frac{5}{12} < \frac{6}{12}$. Это верное неравенство.

Поскольку мы нашли такие натуральные числа $p=5$ и $q=12$, утверждение доказано.

Ответ: утверждение верно.