Номер 214, страница 44, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

214 Как изменяется дробь с увеличением и уменьшением числителя, знаменателя? Не выполняя преобразований, расположи дроби:

а) $ \frac{3}{11}, \frac{5}{8}, \frac{1}{15}, \frac{2}{11}, \frac{1}{20}, \frac{4}{9}, \frac{6}{7}, \frac{2}{15} $ в порядке возрастания;

б) $ \frac{3}{16}, \frac{7}{9}, \frac{3}{17}, \frac{7}{12}, \frac{1}{18}, \frac{5}{12}, \frac{2}{17}, \frac{5}{16} $ в порядке убывания.

Величина дроби изменяется в зависимости от её числителя и знаменателя.

При неизменном знаменателе, с увеличением числителя дробь увеличивается, а с его уменьшением — уменьшается. Например, $ \frac{3}{10} > \frac{2}{10} $.

При неизменном числителе, с увеличением знаменателя дробь уменьшается, а с его уменьшением — увеличивается. Например, $ \frac{5}{8} < \frac{5}{7} $.

Используя эти правила, можно сравнивать дроби без сложных вычислений.

а) Расположим дроби $ \frac{3}{11}, \frac{5}{8}, \frac{1}{15}, \frac{2}{11}, \frac{1}{20}, \frac{4}{9}, \frac{6}{7}, \frac{2}{15} $ в порядке возрастания.

Сначала найдем самые маленькие дроби. Сравнивая дроби с одинаковым числителем 1, получаем $ \frac{1}{20} < \frac{1}{15} $ (так как $20 > 15$). Далее, сравнивая дроби с одинаковым знаменателем 15, имеем $ \frac{1}{15} < \frac{2}{15} $. Таким образом, начальная часть последовательности: $ \frac{1}{20} < \frac{1}{15} < \frac{2}{15} $.

Сравним $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{2}{11} $. Так как у них одинаковый числитель, $ \frac{2}{15} < \frac{2}{11} $.

Теперь сравним дроби со знаменателем 11: $ \frac{2}{11} < \frac{3}{11} $.

Текущая последовательность: $ \frac{1}{20} < \frac{1}{15} < \frac{2}{15} < \frac{2}{11} < \frac{3}{11} $.

Рассмотрим оставшиеся дроби $ \frac{4}{9}, \frac{5}{8}, \frac{6}{7} $. Все дроби в нашей текущей последовательности меньше $ \frac{1}{2} $. Дробь $ \frac{4}{9} $ также меньше $ \frac{1}{2} $ (так как $4 \times 2 = 8 < 9$), поэтому она следующая. Дроби $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{6}{7} $ больше $ \frac{1}{2} $.

Чтобы сравнить $ \frac{3}{11} $ и $ \frac{4}{9} $, можно заметить, что $ \frac{4}{9} $ (почти половина) значительно больше, чем $ \frac{3}{11} $. Итак, $ \frac{3}{11} < \frac{4}{9} $.

Осталось сравнить $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{6}{7} $. Для этого посмотрим, насколько они меньше единицы: $ 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} $, а $ 1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7} $. Поскольку $ \frac{1}{7} < \frac{3}{8} $, дробь $ \frac{6}{7} $ находится ближе к единице, а значит, она больше. Таким образом, $ \frac{5}{8} < \frac{6}{7} $.

Объединив все сравнения, получаем итоговый ряд.
Ответ: $ \frac{1}{20}, \frac{1}{15}, \frac{2}{15}, \frac{2}{11}, \frac{3}{11}, \frac{4}{9}, \frac{5}{8}, \frac{6}{7} $.

б) Расположим дроби $ \frac{3}{16}, \frac{7}{9}, \frac{3}{17}, \frac{7}{12}, \frac{1}{18}, \frac{5}{12}, \frac{2}{17}, \frac{5}{16} $ в порядке убывания.

Начнем с поиска самой большой дроби. Сравнивая дроби с числителем 7, получаем $ \frac{7}{9} > \frac{7}{12} $. Дробь $ \frac{7}{9} $ является наибольшей из всех представленных.

Следующей по величине идет $ \frac{7}{12} $. Сравним ее с $ \frac{5}{12} $: так как знаменатель одинаковый, $ \frac{7}{12} > \frac{5}{12} $.

Теперь сравним $ \frac{5}{12} $ с $ \frac{5}{16} $: так как числитель одинаковый, $ \frac{5}{12} > \frac{5}{16} $.

Продолжим с дробями со знаменателем 16: $ \frac{5}{16} > \frac{3}{16} $.

Сравним $ \frac{3}{16} $ с $ \frac{3}{17} $: при одинаковом числителе $ \frac{3}{16} > \frac{3}{17} $.

Теперь дроби со знаменателем 17: $ \frac{3}{17} > \frac{2}{17} $.

Осталась последняя дробь $ \frac{1}{18} $. Сравним ее с $ \frac{2}{17} $. Мы знаем, что $ \frac{2}{17} > \frac{2}{18} $. А $ \frac{2}{18} $ равно $ \frac{1}{9} $. Очевидно, что $ \frac{1}{9} > \frac{1}{18} $. Таким образом, $ \frac{2}{17} > \frac{1}{18} $.

Собирая все сравнения в одну цепочку, получаем итоговый ряд.
Ответ: $ \frac{7}{9}, \frac{7}{12}, \frac{5}{12}, \frac{5}{16}, \frac{3}{16}, \frac{3}{17}, \frac{2}{17}, \frac{1}{18} $.