Номер 211, страница 43, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

211 1) Запиши множество дробей, удалённых на числовом луче от дроби $\frac{7}{15}$ на $\frac{1}{3}$. Проиллюстрируй полученный ответ на чертеже.

2) Запиши с помощью двойного неравенства множество чисел $x$, удалённых на числовом луче от дроби $\frac{7}{15}$ меньше, чем на $\frac{1}{3}$. Докажи, что дроби $\frac{2}{3}$, $\frac{19}{75}$, $\frac{101}{150}$, $\frac{875}{1500}$ принадлежат этому множеству.

1)

Чтобы найти дроби, которые на числовом луче удалены от дроби $ \frac{7}{15} $ на расстояние $ \frac{1}{3} $, необходимо найти два числа: $ \frac{7}{15} - \frac{1}{3} $ и $ \frac{7}{15} + \frac{1}{3} $.

Для выполнения сложения и вычитания приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 3 равен 15.

$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15} $

Теперь выполним вычисления:

Первая дробь: $ \frac{7}{15} - \frac{5}{15} = \frac{7-5}{15} = \frac{2}{15} $

Вторая дробь: $ \frac{7}{15} + \frac{5}{15} = \frac{7+5}{15} = \frac{12}{15} $

Таким образом, искомые дроби — это $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{12}{15} $.

Иллюстрация полученного ответа на чертеже:

Ответ: $ \left\{\frac{2}{15}, \frac{12}{15}\right\} $.

Множество чисел $ x $, удалённых на числовом луче от дроби $ \frac{7}{15} $ на расстояние, меньшее чем $ \frac{1}{3} $, описывается неравенством с модулем: $ \left|x - \frac{7}{15}\right| < \frac{1}{3} $.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$ \frac{7}{15} - \frac{1}{3} < x < \frac{7}{15} + \frac{1}{3} $

Используя вычисления из пункта 1, мы знаем, что $ \frac{7}{15} - \frac{1}{3} = \frac{2}{15} $ и $ \frac{7}{15} + \frac{1}{3} = \frac{12}{15} $.

Следовательно, искомое двойное неравенство:

$ \frac{2}{15} < x < \frac{12}{15} $

Теперь докажем, что дроби $ \frac{2}{3} $, $ \frac{19}{75} $, $ \frac{101}{150} $ и $ \frac{875}{1500} $ принадлежат этому множеству. Для этого приведём все дроби, включая границы неравенства, к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное знаменателей 15, 3, 75, 150, 1500 равно 1500.

Преобразуем границы неравенства:

$ \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 100}{15 \cdot 100} = \frac{200}{1500} $

$ \frac{12}{15} = \frac{12 \cdot 100}{15 \cdot 100} = \frac{1200}{1500} $

Неравенство принимает вид: $ \frac{200}{1500} < x < \frac{1200}{1500} $. Проверим каждую дробь.

• Проверка для $ \frac{2}{3} $:
  $ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 500}{3 \cdot 500} = \frac{1000}{1500} $.
  Так как $ 200 < 1000 < 1200 $, то $ \frac{200}{1500} < \frac{1000}{1500} < \frac{1200}{1500} $. Дробь принадлежит множеству.
• Проверка для $ \frac{19}{75} $:
  $ \frac{19}{75} = \frac{19 \cdot 20}{75 \cdot 20} = \frac{380}{1500} $.
  Так как $ 200 < 380 < 1200 $, то $ \frac{200}{1500} < \frac{380}{1500} < \frac{1200}{1500} $. Дробь принадлежит множеству.
• Проверка для $ \frac{101}{150} $:
  $ \frac{101}{150} = \frac{101 \cdot 10}{150 \cdot 10} = \frac{1010}{1500} $.
  Так как $ 200 < 1010 < 1200 $, то $ \frac{200}{1500} < \frac{1010}{1500} < \frac{1200}{1500} $. Дробь принадлежит множеству.
• Проверка для $ \frac{875}{1500} $:
  Дробь уже имеет знаменатель 1500.
  Так как $ 200 < 875 < 1200 $, то $ \frac{200}{1500} < \frac{875}{1500} < \frac{1200}{1500} $. Дробь принадлежит множеству.

Доказано, что все перечисленные дроби принадлежат заданному множеству чисел.

Ответ: $ \frac{2}{15} < x < \frac{12}{15} $.