Номер 215, страница 44, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

215 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $ \frac{495}{4620} $;

б) $ \frac{22 \cdot 16 \cdot 45}{25 \cdot 64 \cdot 33} $;

в) $ \frac{25 - 5}{50} $;

г) $ \frac{9 \cdot 4 + 6 \cdot 4}{8 \cdot 81 - 8 \cdot 56} $;

д) $ \frac{45ac}{54abk} $;

е) $ \frac{12xz}{16xyz} $;

ж) $ \frac{5d + 10d}{15dn} $;

з) $ \frac{b^2 - 6b}{2a(b - 6)} $.

а) Для того чтобы сократить дробь $ \frac{495}{4620} $, будем последовательно делить числитель и знаменатель на общие делители.

Числитель оканчивается на 5, а знаменатель на 0, значит оба делятся на 5.

$ \frac{495}{4620} = \frac{495 \div 5}{4620 \div 5} = \frac{99}{924} $.

Теперь проверим делимость на 3. Сумма цифр числителя $ 9+9=18 $ (делится на 3), и сумма цифр знаменателя $ 9+2+4=15 $ (делится на 3). Сократим дробь на 3.

$ \frac{99}{924} = \frac{99 \div 3}{924 \div 3} = \frac{33}{308} $.

Числитель $ 33 = 3 \cdot 11 $. Проверим, делится ли знаменатель 308 на 11. $ 308 \div 11 = 28 $. Значит, можно сократить на 11.

$ \frac{33}{308} = \frac{33 \div 11}{308 \div 11} = \frac{3}{28} $.

Числа 3 и 28 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому дробь несократимая.

Ответ: $ \frac{3}{28} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{22 \cdot 16 \cdot 45}{25 \cdot 64 \cdot 33} $, сократим множители в числителе и знаменателе.

$ \frac{22 \cdot 16 \cdot 45}{25 \cdot 64 \cdot 33} = \frac{22}{33} \cdot \frac{16}{64} \cdot \frac{45}{25} $.

Сократим каждую из дробей:

$ \frac{22}{33} = \frac{2 \cdot 11}{3 \cdot 11} = \frac{2}{3} $

$ \frac{16}{64} = \frac{16}{4 \cdot 16} = \frac{1}{4} $

$ \frac{45}{25} = \frac{9 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{9}{5} $

Перемножим полученные дроби:

$ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{5} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 9}{3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{18}{60} $.

Сократим итоговую дробь $ \frac{18}{60} $, разделив числитель и знаменатель на 6.

$ \frac{18 \div 6}{60 \div 6} = \frac{3}{10} $.

Ответ: $ \frac{3}{10} $

в) Сначала выполним вычитание в числителе дроби $ \frac{25 - 5}{50} $.

$ 25 - 5 = 20 $.

Получаем дробь $ \frac{20}{50} $.

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 10.

$ \frac{20}{50} = \frac{20 \div 10}{50 \div 10} = \frac{2}{5} $.

Ответ: $ \frac{2}{5} $

г) Упростим числитель и знаменатель дроби $ \frac{9 \cdot 4 + 6 \cdot 4}{8 \cdot 81 - 8 \cdot 56} $, вынося общие множители за скобки.

В числителе вынесем общий множитель 4:

$ 9 \cdot 4 + 6 \cdot 4 = (9 + 6) \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60 $.

В знаменателе вынесем общий множитель 8:

$ 8 \cdot 81 - 8 \cdot 56 = 8 \cdot (81 - 56) = 8 \cdot 25 = 200 $.

Дробь принимает вид $ \frac{60}{200} $.

Сократим ее, разделив числитель и знаменатель на 20.

$ \frac{60}{200} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $.

Ответ: $ \frac{3}{10} $

д) Сократим дробь $ \frac{45ac}{54abk} $.

Сначала сократим числовые коэффициенты 45 и 54. Их наибольший общий делитель равен 9.

$ \frac{45}{54} = \frac{45 \div 9}{54 \div 9} = \frac{5}{6} $.

Теперь сократим переменные. В числителе и знаменателе есть общий множитель $ a $, сокращаем его.

$ \frac{45a c}{54a bk} = \frac{5 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{a} \cdot c}{6 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{a} \cdot b \cdot k} = \frac{5c}{6bk} $.

Ответ: $ \frac{5c}{6bk} $

е) Сократим дробь $ \frac{12xz}{16xyz} $.

Сократим числовые коэффициенты 12 и 16. Их наибольший общий делитель равен 4.

$ \frac{12}{16} = \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4} $.

Сократим переменные. Общие множители в числителе и знаменателе — $ x $ и $ z $.

$ \frac{12 \cdot x \cdot z}{16 \cdot x \cdot y \cdot z} = \frac{3 \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{z}}{4 \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{x} \cdot y \cdot \cancel{z}} = \frac{3}{4y} $.

Ответ: $ \frac{3}{4y} $

ж) Упростим выражение в числителе дроби $ \frac{5d + 10d}{15dn} $.

$ 5d + 10d = (5+10)d = 15d $.

Дробь принимает вид $ \frac{15d}{15dn} $.

Сокращаем число 15 и переменную $ d $ в числителе и знаменателе.

$ \frac{15d}{15dn} = \frac{\cancel{15} \cdot \cancel{d}}{\cancel{15} \cdot \cancel{d} \cdot n} = \frac{1}{n} $.

Ответ: $ \frac{1}{n} $

з) Для сокращения дроби $ \frac{b^2 - 6b}{2a(b - 6)} $ разложим числитель на множители.

Вынесем общий множитель $ b $ за скобки: $ b^2 - 6b = b(b - 6) $.

Дробь принимает вид $ \frac{b(b - 6)}{2a(b - 6)} $.

Сократим общий множитель $ (b - 6) $ в числителе и знаменателе.

$ \frac{b(b - 6)}{2a(b - 6)} = \frac{b\cancel{(b - 6)}}{2a\cancel{(b - 6)}} = \frac{b}{2a} $.

Ответ: $ \frac{b}{2a} $