Номер 212, страница 43, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

212 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие (буква $\varepsilon$ читается «эпсилон»):

«Множество точек числового луча, удалённых от точки $a$ на расстояние меньшее, чем $\varepsilon$, называется $\varepsilon$-окрестностью точки $a$».

Изобрази с помощью числового луча $\varepsilon$-окрестность точки 3 при $\varepsilon = 1$.

2) Используя чертёж, установи, верно ли сделан перевод приведённого опре- деления на математический язык:

Точка $x$ принадлежит

$\varepsilon$-окрестности точки $a$ $\Leftrightarrow a-\varepsilon < x < a + \varepsilon$.

— $\varepsilon$ + $\varepsilon$

$\qquad a-\varepsilon \quad a \quad a+\varepsilon$

3) Пользуясь определением $\varepsilon$-окрестности, запиши в виде двойного неравен- ства $\varepsilon$-окрестности точек:

$\frac{4}{9}$, если $\varepsilon = \frac{2}{9}$;

$\frac{1}{2}$, если $\varepsilon = \frac{1}{6}$;

$\frac{3}{10}$, если $\varepsilon = \frac{1}{5}$;

$\frac{5}{12}$, если $\varepsilon = \frac{1}{4}$.

Проиллюстрируй ответы на чертеже, подо- брав подходящие единичные отрезки.

Для каждой $\varepsilon$-окрестности запиши по одному числу, которое ей принадлежит, и по одному числу, которое ей не принадлежит.

1) В приведенном определении определяется понятие ε-окрестность точки a. Чтобы изобразить ε-окрестность точки 3 при ε = 1, найдем границы интервала. Центр окрестности $a = 3$, радиус $\varepsilon = 1$. Нижняя граница равна $a - \varepsilon = 3 - 1 = 2$. Верхняя граница равна $a + \varepsilon = 3 + 1 = 4$. Таким образом, ε-окрестность точки 3 — это множество всех точек $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $2 < x < 4$. На числовом луче это открытый интервал $(2; 4)$. Точки 2 и 4 не входят в окрестность и на чертеже обозначаются выколотыми (пустыми) точками. Ответ: Определяемое понятие — ε-окрестность точки a. ε-окрестность точки 3 при ε = 1 — это интервал $(2; 4)$.

2) Да, перевод определения на математический язык сделан верно. Определение гласит, что точки $x$ из ε-окрестности удалены от точки $a$ на расстояние, меньшее чем $\varepsilon$. Расстояние между точками $x$ и $a$ на числовой прямой выражается модулем их разности $|x - a|$. Таким образом, определение можно записать в виде неравенства $|x - a| < \varepsilon$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $-\varepsilon < x - a < \varepsilon$. Прибавив $a$ ко всем частям этого неравенства, мы получим $a - \varepsilon < x < a + \varepsilon$, что в точности соответствует представленной математической записи. Приложенный чертёж также корректно иллюстрирует этот открытый интервал. Ответ: Да, перевод сделан верно.

3)

Для $a = \frac{4}{9}$ и $\varepsilon = \frac{2}{9}$, ε-окрестность задается двойным неравенством $\frac{4}{9} - \frac{2}{9} < x < \frac{4}{9} + \frac{2}{9}$, что равносильно $\frac{2}{9} < x < \frac{2}{3}$. На чертеже это открытый интервал $(\frac{2}{9}, \frac{2}{3})$. Пример числа, принадлежащего окрестности: $\frac{1}{3}$. Пример числа, не принадлежащего окрестности: $1$.

Для $a = \frac{3}{10}$ и $\varepsilon = \frac{1}{5} = \frac{2}{10}$, ε-окрестность задается двойным неравенством $\frac{3}{10} - \frac{2}{10} < x < \frac{3}{10} + \frac{2}{10}$, что равносильно $\frac{1}{10} < x < \frac{1}{2}$. На чертеже это открытый интервал $(\frac{1}{10}, \frac{1}{2})$. Пример числа, принадлежащего окрестности: $\frac{1}{5}$. Пример числа, не принадлежащего окрестности: $0$.

Для $a = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ и $\varepsilon = \frac{1}{6}$, ε-окрестность задается двойным неравенством $\frac{3}{6} - \frac{1}{6} < x < \frac{3}{6} + \frac{1}{6}$, что равносильно $\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$. На чертеже это открытый интервал $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$. Пример числа, принадлежащего окрестности: $\frac{1}{2}$. Пример числа, не принадлежащего окрестности: $\frac{2}{3}$.

Для $a = \frac{5}{12}$ и $\varepsilon = \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$, ε-окрестность задается двойным неравенством $\frac{5}{12} - \frac{3}{12} < x < \frac{5}{12} + \frac{3}{12}$, что равносильно $\frac{1}{6} < x < \frac{2}{3}$. На чертеже это открытый интервал $(\frac{1}{6}, \frac{2}{3})$. Пример числа, принадлежащего окрестности: $\frac{1}{2}$. Пример числа, не принадлежащего окрестности: $\frac{1}{6}$.

Ответ:

Неравенства: 1) $\frac{2}{9} < x < \frac{2}{3}$; 2) $\frac{1}{10} < x < \frac{1}{2}$; 3) $\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$; 4) $\frac{1}{6} < x < \frac{2}{3}$.

Примеры чисел:

1) принадлежит $\frac{1}{3}$, не принадлежит $1$; 2) принадлежит $\frac{1}{5}$, не принадлежит $0$; 3) принадлежит $\frac{1}{2}$, не принадлежит $\frac{2}{3}$; 4) принадлежит $\frac{1}{2}$, не принадлежит $\frac{1}{6}$.