Номер 492, страница 104, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

492 1) Длина прямоугольника равна a м, а ширина составляет $ \frac{3}{4} $ длины. Чему равна его площадь?

2) Ширина прямоугольника равна b см, а длина составляет $ \frac{8}{3} $ ширины. Чему равен его периметр?

3) Длина первого прямоугольника равна c м, а ширина – d м. Длина второго прямоугольника составляет $ \frac{2}{9} $ длины первого, а ширина $ \frac{3}{10} $ ширины первого. Во сколько раз площадь первого прямоугольника больше площади второго прямоугольника?

4) Длина прямоугольника равна n мм, а ширина составляет $ \frac{3}{5} $ длины. На сколько квадратных миллиметров площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата с тем же периметром?

1)

Дано:
Длина прямоугольника = $a$ м.
Ширина прямоугольника = $\frac{3}{4}$ длины.
Найдем ширину:
Ширина = $a \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}a$ м.
Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = \text{длина} \cdot \text{ширина}$.
$S = a \cdot \frac{3}{4}a = \frac{3}{4}a^2$ м².
Ответ: $\frac{3}{4}a^2$ м².

2)

Дано:
Ширина прямоугольника = $b$ см.
Длина прямоугольника = $\frac{8}{3}$ ширины.
Найдем длину:
Длина = $b \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{3}b$ см.
Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина})$.
$P = 2 \cdot (\frac{8}{3}b + b) = 2 \cdot (\frac{8}{3}b + \frac{3}{3}b) = 2 \cdot \frac{11}{3}b = \frac{22}{3}b$ см.
Ответ: $\frac{22}{3}b$ см.

3)

Найдем характеристики первого прямоугольника:
Длина₁ = $c$ м.
Ширина₁ = $d$ м.
Площадь первого прямоугольника ($S_1$) равна:
$S_1 = c \cdot d = cd$ м².
Найдем характеристики второго прямоугольника:
Длина₂ = $\frac{2}{9} \cdot \text{Длина₁} = \frac{2}{9}c$ м.
Ширина₂ = $\frac{3}{10} \cdot \text{Ширина₁} = \frac{3}{10}d$ м.
Площадь второго прямоугольника ($S_2$) равна:
$S_2 = \frac{2}{9}c \cdot \frac{3}{10}d = \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 10}cd = \frac{6}{90}cd = \frac{1}{15}cd$ м².
Чтобы узнать, во сколько раз площадь первого прямоугольника больше площади второго, нужно разделить $S_1$ на $S_2$:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{cd}{\frac{1}{15}cd} = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 1 \cdot \frac{15}{1} = 15$.
Ответ: в 15 раз.

4)

Найдем характеристики прямоугольника:
Длина прямоугольника ($L_p$) = $n$ мм.
Ширина прямоугольника ($W_p$) = $\frac{3}{5}$ длины = $\frac{3}{5}n$ мм.
Периметр прямоугольника ($P_p$) = $2 \cdot (L_p + W_p) = 2 \cdot (n + \frac{3}{5}n) = 2 \cdot (\frac{5}{5}n + \frac{3}{5}n) = 2 \cdot \frac{8}{5}n = \frac{16}{5}n$ мм.
Площадь прямоугольника ($S_p$) = $L_p \cdot W_p = n \cdot \frac{3}{5}n = \frac{3}{5}n^2$ мм².
Теперь найдем характеристики квадрата:
Периметр квадрата ($P_k$) равен периметру прямоугольника: $P_k = P_p = \frac{16}{5}n$ мм.
Сторона квадрата ($a_k$) = $\frac{P_k}{4} = \frac{\frac{16}{5}n}{4} = \frac{16n}{5 \cdot 4} = \frac{4n}{5}$ мм.
Площадь квадрата ($S_k$) = $(a_k)^2 = (\frac{4n}{5})^2 = \frac{16n^2}{25}$ мм².
Найдем разницу между площадью квадрата и площадью прямоугольника:
$S_k - S_p = \frac{16n^2}{25} - \frac{3}{5}n^2$. Приведем к общему знаменателю 25.
$S_k - S_p = \frac{16n^2}{25} - \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5}n^2 = \frac{16n^2}{25} - \frac{15n^2}{25} = \frac{16n^2 - 15n^2}{25} = \frac{n^2}{25}$ мм².
Ответ: на $\frac{n^2}{25}$ мм².