Номер 885, страница 189, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

885 Выполни действия и сократи дроби, если значения всех переменных – натуральные числа:

1) $\frac{14}{3a} \cdot \frac{6a^2}{49};$

2) $\frac{8b}{5} : \frac{b^3}{25};$

3) $\frac{c}{15d} \cdot \frac{5d}{c^2};$

4) $\frac{x^2}{2y} : \frac{2x}{y^3}.$

1) Чтобы выполнить умножение дробей, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Затем следует сократить полученную дробь.

$ \frac{14}{3a} \cdot \frac{6a^2}{49} = \frac{14 \cdot 6a^2}{3a \cdot 49} $

Разложим числитель и знаменатель на множители для удобства сокращения:

$ \frac{(2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot a \cdot a}{3 \cdot a \cdot 7 \cdot 7} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе: 3, 7 и $a$.

$ \frac{2 \cdot 2 \cdot a}{7} = \frac{4a}{7} $

Ответ: $ \frac{4a}{7} $

2) Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

$ \frac{8b}{5} : \frac{b^3}{25} = \frac{8b}{5} \cdot \frac{25}{b^3} = \frac{8b \cdot 25}{5 \cdot b^3} $

Сократим полученное выражение. Учтем, что $25 = 5 \cdot 5$ и $b^3 = b \cdot b^2$.

$ \frac{8 \cdot b \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot b \cdot b^2} $

Сократим общие множители 5 и $b$.

$ \frac{8 \cdot 5}{b^2} = \frac{40}{b^2} $

Ответ: $ \frac{40}{b^2} $

3) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели.

$ \frac{c}{15d} \cdot \frac{5d}{c^2} = \frac{c \cdot 5d}{15d \cdot c^2} $

Разложим на множители и сократим общие множители 5, $d$ и $c$.

$ \frac{5 \cdot c \cdot d}{(3 \cdot 5) \cdot d \cdot (c \cdot c)} = \frac{1}{3c} $

После сокращения в числителе остается 1.

Ответ: $ \frac{1}{3c} $

4) Чтобы разделить дроби, заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь.

$ \frac{x^2}{2y} : \frac{2x}{y^3} = \frac{x^2}{2y} \cdot \frac{y^3}{2x} = \frac{x^2 \cdot y^3}{2y \cdot 2x} $

Объединим множители и выполним сокращение, используя свойства степеней ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $).

$ \frac{x^2 y^3}{4xy} = \frac{1}{4} \cdot x^{2-1} \cdot y^{3-1} = \frac{1}{4} x^1 y^2 = \frac{xy^2}{4} $

Ответ: $ \frac{xy^2}{4} $