Номер 883, страница 188, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

883 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие:

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с его внутренним углом.

2) Начерти треугольник $ABC$ и построй его внешний угол при вершине $A$. Сколько решений имеет эта задача? Сколько внешних углов имеет треугольник $ABC$ при вершинах $B$ и $C$? Сравни внешние углы при каждой вершине и сформулируй гипотезу.

3) Измерь внешние углы треугольника $ABC$ по одному при каждой вершине и найди их сумму. Повтори эксперимент ещё 2 раза для двух произвольных треугольников. Сформулируй гипотезу. Достаточно ли проведённых измерений для того, чтобы считать твою гипотезу доказанной? Почему?

1) В определении «Внешним углом треугольника называется угол, смежный с его внутренним углом» определяемым понятием является внешний угол треугольника. Ответ: внешний угол треугольника.

2) Чтобы построить внешний угол треугольника ABC при вершине A, необходимо продлить одну из сторон, образующих эту вершину (например, сторону CA за точку A). Угол между продолжением этой стороны и другой стороной (AB) и будет внешним углом. Поскольку при вершине A сходятся две стороны (AB и AC), можно продлить любую из них. Следовательно, задача построения внешнего угла при одной вершине имеет два решения. Эти два внешних угла являются вертикальными, а значит, они равны между собой.
Аналогично, при вершинах B и C треугольник ABC также имеет по два внешних угла (по два решения для построения на каждой вершине).
Сравнение внешних углов при каждой вершине показывает, что два внешних угла при одной и той же вершине равны.
Гипотеза: При каждой вершине треугольника существует два внешних угла, и они равны между собой.
Ответ: Задача построения внешнего угла при вершине А имеет 2 решения. Треугольник ABC имеет по два внешних угла при каждой из вершин B и C. Внешние углы при одной и той же вершине равны между собой, так как являются вертикальными.

3) Проведем эксперимент по измерению внешних углов (по одному при каждой вершине) и нахождению их суммы для трех разных треугольников.
1. Треугольник ABC с рисунка. Измерив углы транспортиром, можно получить примерные значения. Например, внутренние углы могут быть $\approx 82^\circ$ (A), $45^\circ$ (B), $53^\circ$ (C). Тогда соответствующие внешние углы будут равны: $180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$, $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$, $180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$. Их сумма: $98^\circ + 135^\circ + 127^\circ = 360^\circ$.
2. Равносторонний треугольник. Все его внутренние углы равны по $60^\circ$. Тогда каждый из его внешних углов равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Сумма внешних углов: $120^\circ + 120^\circ + 120^\circ = 360^\circ$.
3. Прямоугольный треугольник с внутренними углами $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$. Внешние углы будут равны $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ и $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Их сумма: $90^\circ + 120^\circ + 150^\circ = 360^\circ$.
Гипотеза: Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.
Проведённых измерений недостаточно, чтобы считать эту гипотезу доказанной.
Почему? Во-первых, любые измерения с помощью инструментов (например, транспортира) имеют погрешность, поэтому результат суммы будет лишь приблизительно равен $360^\circ$. Во-вторых, что более важно, эксперимент проведен лишь для трёх частных случаев. Математическая теорема должна быть верной для бесконечного множества всех возможных треугольников, а не только для нескольких выбранных. Для доказательства гипотезы требуется строгое математическое рассуждение. Оно выглядит так: сумма внутреннего и смежного с ним внешнего угла равна $180^\circ$. Для трех вершин сумма всех внутренних и всех внешних углов будет $180^\circ \times 3 = 540^\circ$. Поскольку сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$, то на сумму внешних углов остается $540^\circ - 180^\circ = 360^\circ$.
Ответ: Сумма внешних углов треугольника (по одному при каждой вершине) по результатам измерений будет близка к $360^\circ$. Гипотеза: сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$. Проведённых измерений недостаточно для доказательства гипотезы, так как измерения неточны и охватывают лишь частные случаи, в то время как доказательство требует строгого теоретического обоснования для всех без исключения случаев.