Номер 6.233, страница 126, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

46. Деление десятичной дроби на натуральное число. § 6. Десятичные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 6.233, страница 126.

6.233 Подберите корни уравнения:

а) 7,8x = 7,8;

б) 2,39x = 0;

в) 5,8x = 58;

г) n² = n;

д) z³ = z;

е) p² = p³.

а) В уравнении $7,8x = 7,8$ левая и правая части равны. Это возможно, если неизвестный множитель $x$ равен единице, так как любое число, умноженное на 1, равно самому себе. Чтобы формально решить уравнение, разделим обе его части на коэффициент при $x$, то есть на $7,8$.

$x = \frac{7,8}{7,8}$

$x = 1$

Проверим подстановкой: $7,8 \cdot 1 = 7,8$. Равенство истинно.

Ответ: $x=1$.

б) В уравнении $2,39x = 0$ произведение двух множителей равно нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поскольку первый множитель $2,39$ отличен от нуля, то второй множитель $x$ обязательно должен быть равен нулю.

$x = 0$

Проверим подстановкой: $2,39 \cdot 0 = 0$. Равенство истинно.

Ответ: $x=0$.

в) В уравнении $5,8x = 58$ можно заметить, что правая часть ($58$) в 10 раз больше, чем коэффициент при $x$ ($5,8$). Следовательно, можно предположить, что $x=10$. Для решения найдем неизвестный множитель $x$ путем деления произведения ($58$) на известный множитель ($5,8$).

$x = \frac{58}{5,8}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель дроби на 10:

$x = \frac{58 \cdot 10}{5,8 \cdot 10} = \frac{580}{58}$

$x = 10$

Проверим подстановкой: $5,8 \cdot 10 = 58$. Равенство истинно.

Ответ: $x=10$.

г) Дано уравнение $n^2 = n$. Это уравнение будет верным для чисел, квадрат которых равен самому числу. Такими числами являются 0 и 1. Для формального решения перенесем все члены уравнения в левую часть:

$n^2 - n = 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(n - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два возможных корня:

1) $n = 0$

2) $n - 1 = 0 \implies n = 1$

Проверка: если $n=0$, то $0^2 = 0$ ($0=0$). Если $n=1$, то $1^2 = 1$ ($1=1$). Оба корня верны.

Ответ: $n=0$, $n=1$.

д) Дано уравнение $z^3 = z$. Это равенство верно для чисел, куб которых равен самому числу. Проверив простые целые числа, можно найти корни: $0, 1, -1$. Для полного решения перенесем все члены в левую часть:

$z^3 - z = 0$

Вынесем общий множитель $z$ за скобки:

$z(z^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках, $z^2 - 1$, является формулой разности квадратов и раскладывается на $(z-1)(z+1)$.

$z(z - 1)(z + 1) = 0$

Произведение трех множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Это дает три корня:

1) $z = 0$

2) $z - 1 = 0 \implies z = 1$

3) $z + 1 = 0 \implies z = -1$

Проверка: $0^3=0$; $1^3=1$; $(-1)^3=-1$. Все корни верны.

Ответ: $z=-1$, $z=0$, $z=1$.

е) Дано уравнение $p^2 = p^3$. Это равенство верно для чисел, квадрат которых равен их кубу. Очевидные кандидаты — 0 и 1. Решим уравнение, перенеся все члены в одну сторону:

$p^3 - p^2 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $p^2$:

$p^2(p - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $p^2 = 0 \implies p = 0$

2) $p - 1 = 0 \implies p = 1$

Проверка: если $p=0$, то $0^2 = 0^3$ ($0=0$). Если $p=1$, то $1^2 = 1^3$ ($1=1$). Оба корня верны.

Ответ: $p=0$, $p=1$.