номер 1257, страница 154, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите решение систем уравнений или докажите, что системы не имеют решений (1250—1260):

1257.

1) $\begin{cases} 8x + 7y + 53 = 0, \\ 4x - 5y + 1 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 7x + 9y + 48 = 0, \\ 6x + 3y + 27 = 0. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 8x + 7y + 53 = 0, \\ 4x - 5y + 1 = 0; \end{cases} $

Для решения системы применим метод алгебраического сложения. Сначала перепишем систему, перенеся свободные члены в правую часть уравнений: $ \begin{cases} 8x + 7y = -53, \\ 4x - 5y = -1; \end{cases} $

Чтобы коэффициенты при переменной $\text{x}$ стали одинаковыми, умножим второе уравнение системы на 2: $ \begin{cases} 8x + 7y = -53, \\ 2 \cdot (4x - 5y) = 2 \cdot (-1); \end{cases} $

Получим эквивалентную систему: $ \begin{cases} 8x + 7y = -53, \\ 8x - 10y = -2; \end{cases} $

Теперь вычтем из первого уравнения второе: $ (8x + 7y) - (8x - 10y) = -53 - (-2) $ $ 8x + 7y - 8x + 10y = -53 + 2 $ $ 17y = -51 $ $ y = \frac{-51}{17} $ $ y = -3 $

Подставим найденное значение $y = -3$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $\text{x}$: $ 4x - 5y + 1 = 0 $ $ 4x - 5(-3) + 1 = 0 $ $ 4x + 15 + 1 = 0 $ $ 4x + 16 = 0 $ $ 4x = -16 $ $ x = \frac{-16}{4} $ $ x = -4 $

Таким образом, решение системы: $x = -4$, $y = -3$.

Ответ: $x = -4, y = -3$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 7x + 9y + 48 = 0, \\ 6x + 3y + 27 = 0; \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Перенесем свободные члены в правую часть: $ \begin{cases} 7x + 9y = -48, \\ 6x + 3y = -27; \end{cases} $

Во втором уравнении все коэффициенты делятся на 3. Упростим его: $ (6x + 3y + 27) / 3 = 0 / 3 $ $ 2x + y + 9 = 0 $ Отсюда можно выразить $\text{y}$: $ y = -2x - 9 $

Теперь подставим это выражение для $\text{y}$ в первое уравнение исходной системы: $ 7x + 9(-2x - 9) + 48 = 0 $ $ 7x - 18x - 81 + 48 = 0 $ $ -11x - 33 = 0 $ $ -11x = 33 $ $ x = \frac{33}{-11} $ $ x = -3 $

Теперь найдем $\text{y}$, подставив значение $x = -3$ в выражение для $\text{y}$: $ y = -2x - 9 $ $ y = -2(-3) - 9 $ $ y = 6 - 9 $ $ y = -3 $

Таким образом, решение системы: $x = -3$, $y = -3$.

Ответ: $x = -3, y = -3$.