номер 1258, страница 154, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите решение систем уравнений или докажите, что системы не имеют решений (1250—1260):

1258.

1) $\begin{cases} \frac{1}{3}x + 0,25y = 0, \\ 29x - 2,5y = -97; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 0,75x + \frac{1}{8}y + 1 = 0, \\ 1,3x - 0,65y = 0. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{3}x + 0,25y = 0, \\ 29x - 2,5y = -97; \end{cases} $

Для удобства преобразуем коэффициенты в первом уравнении. Представим десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби $ \frac{1}{4} $.

$ \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = 0 $

Выразим $\text{y}$ через $\text{x}$ из этого уравнения:

$ \frac{1}{4}y = -\frac{1}{3}x $

Умножим обе части на 4:

$ y = -\frac{4}{3}x $

Теперь подставим это выражение для $\text{y}$ во второе уравнение системы:

$ 29x - 2,5y = -97 $

$ 29x - 2,5 \left(-\frac{4}{3}x\right) = -97 $

Представим десятичную дробь 2,5 в виде обыкновенной $ \frac{5}{2} $:

$ 29x - \frac{5}{2} \left(-\frac{4}{3}x\right) = -97 $

$ 29x + \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 3}x = -97 $

$ 29x + \frac{20}{6}x = -97 $

$ 29x + \frac{10}{3}x = -97 $

Приведем подобные слагаемые, приведя 29 к знаменателю 3:

$ \frac{29 \cdot 3}{3}x + \frac{10}{3}x = -97 $

$ \frac{87}{3}x + \frac{10}{3}x = -97 $

$ \frac{97}{3}x = -97 $

Найдем $\text{x}$:

$ x = -97 \cdot \frac{3}{97} $

$ x = -3 $

Теперь найдем $\text{y}$, подставив значение $x = -3$ в ранее полученное выражение $ y = -\frac{4}{3}x $:

$ y = -\frac{4}{3}(-3) $

$ y = 4 $

Проверим решение, подставив $x=-3$ и $y=4$ в исходные уравнения:

$ \frac{1}{3}(-3) + 0,25(4) = -1 + 1 = 0 $

$ 29(-3) - 2,5(4) = -87 - 10 = -97 $

Оба равенства верны.

Ответ: $(-3; 4)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 0,75x + \frac{1}{8}y + 1 = 0, \\ 1,3x - 0,65y = 0. \end{cases} $

Начнем с упрощения второго уравнения:

$ 1,3x - 0,65y = 0 $

Можно заметить, что $ 1,3 = 2 \cdot 0,65 $. Разделим обе части уравнения на 0,65:

$ \frac{1,3x}{0,65} - \frac{0,65y}{0,65} = \frac{0}{0,65} $

$ 2x - y = 0 $

Отсюда легко выразить $\text{y}$:

$ y = 2x $

Теперь преобразуем первое уравнение, перенеся 1 в правую часть:

$ 0,75x + \frac{1}{8}y = -1 $

Подставим в это уравнение выражение $ y = 2x $:

$ 0,75x + \frac{1}{8}(2x) = -1 $

$ 0,75x + \frac{2}{8}x = -1 $

$ 0,75x + \frac{1}{4}x = -1 $

Представим $ \frac{1}{4} $ в виде десятичной дроби 0,25:

$ 0,75x + 0,25x = -1 $

$ 1x = -1 $

$ x = -1 $

Найдем $\text{y}$, подставив значение $x = -1$ в выражение $ y = 2x $:

$ y = 2(-1) $

$ y = -2 $

Проверим решение, подставив $x=-1$ и $y=-2$ в исходные уравнения:

$ 0,75(-1) + \frac{1}{8}(-2) + 1 = -0,75 - \frac{2}{8} + 1 = -0,75 - \frac{1}{4} + 1 = -0,75 - 0,25 + 1 = -1 + 1 = 0 $

$ 1,3(-1) - 0,65(-2) = -1,3 + 1,3 = 0 $

Оба равенства верны.

Ответ: $(-1; -2)$.